Question

Найдите наименьшее четное натуральное число n, при котором сумма 1+2+3+…+n делится на 243.

Answer 1

S= n(n+1)/2= 243k= 3^5*k.  

n(n+1)= 2*243k= 486k= 2*3^5*k.  

Значит, нужно найти два последовательных натуральных числа, произведение которых должно быть делимо и на 2 (т. е. одно из них д. б. чётным, что всегда соблюдается) и на 3^5. Если оно из чисел делится на 3, то соседние ему числа не делятся на 3. Следовательно, одно из чисел обязательно должно быть делимо на 3^5= 243. Наименьшее из таких чисел: 243. Рядом с ним есть два числа: 242 и 244. Выбираем меньшее из них: 242. Таким образом, n= 242.

Answer 2

Для нахождения наименьшего четного натурального числа n, при котором сумма 1 + 2 + 3 + ... + n делится на 243, нужно рассмотреть кратность суммы первых n четных чисел 2 + 4 + 6 + ... + n, так как сумма четных чисел будет также четным числом.

Формула для суммы первых n четных чисел: S = n * (n + 1).

Мы хотим найти наименьшее n такое, что сумма S делится на 243. То есть, нам нужно найти такое n, при котором выполняется следующее:

n * (n + 1) ≡ 0 (mod 243)

Исследуем возможные значения n, начиная с наименьшего четного n = 2:

1. При n = 2: 2 * (2 + 1) = 6, что не делится на 243.

2. При n = 4: 4 * (4 + 1) = 20, что не делится на 243.

3. При n = 6: 6 * (6 + 1) = 42, что не делится на 243.

4. При n = 8: 8 * (8 + 1) = 72, что не делится на 243.

5. При n = 10: 10 * (10 + 1) = 110, что не делится на 243.

6. При n = 12: 12 * (12 + 1) = 156, что не делится на 243.

7. При n = 14: 14 * (14 + 1) = 210, что не делится на 243.

8. При n = 16: 16 * (16 + 1) = 272, что делится на 243.

Таким образом, наименьшее четное натуральное число n, при котором сумма 1 + 2 + 3 + ... + n делится на 243, равно 16.