Question

маша разложила 520 книг на 9 полках. Получилось так , что на каждой полке число книг кратно 13 и в каждой полке есть хотя бы одна книга. докажите что на каких-то двух полках окажется равное количество книг

Answer 1

Давайте докажем данное утверждение. По условию, у нас есть 9 полок, и на каждой полке число книг кратно 13. Обозначим количество книг на каждой полке как a₁, a₂, ..., a₉.

Так как на каждой полке число книг кратно 13, мы можем записать каждое aᵢ как aᵢ = 13 * bᵢ, где bᵢ - некоторое целое число (потому что на каждой полке должна быть хотя бы одна книга). Теперь у нас есть:

a₁ = 13 * b₁ a₂ = 13 * b₂ ... a₉ = 13 * b₉

Теперь сложим все эти уравнения:

a₁ + a₂ + ... + a₉ = 13 * b₁ + 13 * b₂ + ... + 13 * b₉

Так как мы имеем 520 книг, то сумма a₁ + a₂ + ... + a₉ = 520.

Теперь можем вынести 13 за скобки:

13 * (b₁ + b₂ + ... + b₉) = 520

Мы знаем, что сумма b₁ + b₂ + ... + b₉ является целым числом, так как каждый bᵢ - целое число (количество книг на каждой полке целое). Таким образом, у нас есть:

13 * ЦЕЛОЕ_ЧИСЛО = 520

Однако 520 не является произведением 13 на целое число (потому что 520 / 13 = 40). Это означает, что уравнение 13 * (b₁ + b₂ + ... + b₉) = 520 не может быть выполнено для целых чисел b₁, b₂, ..., b₉, так как слева у нас будет произведение 13 на нецелое число.

Теперь мы пришли к противоречию. Это означает, что наше предположение, что на каждой полке число книг кратно 13, неверно. Следовательно, как минимум на двух полках должно быть равное количество книг.