Question

Интеграл от 0 до pi/2 cos^2 ×/2 dx помогите пожалуйста

Answer 1

$\int\limits^{\pi /2}_0\, cos^2\frac{x}{2}\, dx=\int\limits^{\pi /2}_0\, \frac{1+cosx}{2}\, dx=\int\limits^{\pi /2}_0\, (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot cosx)dx=\\\\=(\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot sinx)\Big |_0^{\pi /2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\cdot sin\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить этот интеграл.

Исходный интеграл: ∫[0, π/2] cos^2(x/2) dx

Для решения данного интеграла, воспользуемся тригонометрической формулой:

cos^2(θ) = (1 + cos(2θ)) / 2

Теперь заменим θ на x/2:

cos^2(x/2) = (1 + cos(x)) / 2

Теперь интегрируем по x:

∫[0, π/2] (1 + cos(x)) / 2 dx

Раскроем скобки и проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫[0, π/2] (1/2 + cos(x)/2) dx

Интеграл от 1/2 равен (1/2) * x, а интеграл от cos(x)/2 равен (1/2) * sin(x).

Таким образом, окончательный результат:

(1/2) * x + (1/2) * sin(x)

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

(1/2) * (π/2) + (1/2) * sin(π/2) - [(1/2) * (0) + (1/2) * sin(0)]

Упростим:

(1/2) * (π/2) + (1/2) - 0 = π/4 + 1/2

Таким образом, окончательный ответ:

π/4 + 1/2