Question

Докажите, что неравенство (x-4)(x+9)>(x+12)(x-7) верно при любых значениях x

Answer 1

(x-4)(x+9)>(x+12)(x-7)

x²-4x+9x-36>x²+12x-7x-98

5x-36>5x-98

-36<-98

верное неравенство

⇒неравенство (x-4)(x+9)>(x+12)(x-7) верно при любых значениях x

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте разложим его на левую и правую стороны:

Левая сторона: (x - 4)(x + 9) Правая сторона: (x + 12)(x - 7)

Теперь раскроем скобки:

Левая сторона: x^2 + 9x - 4x - 36 Правая сторона: x^2 - 7x + 12x - 84

Упростим полученные выражения:

Левая сторона: x^2 + 5x - 36 Правая сторона: x^2 + 5x - 84

Теперь нам нужно доказать, что левая сторона больше правой стороны для любых значений x:

Для этого вычитаем правую сторону из левой:

(x^2 + 5x - 36) - (x^2 + 5x - 84)

Теперь упростим:

x^2 + 5x - 36 - x^2 - 5x + 84

Теперь вычитаем одно выражение из другого:

5x - 36 + 84

5x + 48

Таким образом, мы получили выражение 5x + 48.

Теперь давайте проверим знак этого выражения. Мы знаем, что 5x + 48 всегда будет больше нуля для любых значений x, так как коэффициент при x положителен (5 > 0), и константа 48 тоже положительна.

Поэтому, для любых значений x, выражение (x - 4)(x + 9) больше (x + 12)(x - 7):

(x - 4)(x + 9) > (x + 12)(x - 7)

Таким образом, неравенство верно при любых значениях x.