Question

Постройте график функции y=(x+4)²+2 а) укажите область определения D(f) и область значений E(f) функции б) определите промежутки знакопостоянства в) определите промежутки возрастания и убывания функции г) найдите экстремум функции

Answer 1

Графиком данной функции является парабола y=x^2 с центром в точке O(-4;2).

а) D(f)∈(-∞;+∞)

   E(f)∈[2;+∞)

б) y>0 при x∈(-∞;+∞)

   y<0 x∈∅.

в) f возрастает на [-4;+∞)

   f убывает на (-∞;-4)

г) Точка экстремума x=-4. Поэтому экстремум функции равен f(-4)=2.

Answer 2

Для построения графика функции y = (x + 4)² + 2, давайте выполним все заданные пункты:

а) Область определения D(f) функции - это множество всех значений x, для которых функция определена. В данном случае у нас нет ограничений в знаменателе или в выражениях под корнем, поэтому функция определена для любого x. D(f) = (-∞, +∞) - все действительные числа.

б) Область значений E(f) функции - это множество всех значений y, которые функция может принимать. В данном случае функция y = (x + 4)² + 2 представляет собой параболу с вершиной в точке (-4, 2) и направленную вверх, поэтому наименьшее значение y равно 2, и функция может принимать все значения больше 2. E(f) = [2, +∞) - все действительные числа, большие или равные 2.

в) Промежутки знакопостоянства функции - это интервалы значений x, на которых функция принимает один и тот же знак. Поскольку функция является параболой с вершиной в точке (-4, 2) и направленной вверх, она всегда положительна, кроме точки вершины, где она равна 2.

Промежутки знакопостоянства: (всегда положительная) f(x) > 0 для всех x ∈ (-∞, +∞), за исключением x = -4.

г) Промежутки возрастания и убывания функции - это интервалы значений x, на которых функция возрастает или убывает.

Функция y = (x + 4)² + 2 - это парабола с вершиной в точке (-4, 2) и направленная вверх. Она возрастает на интервале (-∞, -4) и убывает на интервале (-4, +∞).

Теперь давайте построим график функции:

Для этого мы можем использовать знания о вершине параболы и том, что она направлена вверх. А также область определения и область значений, которые мы определили выше.

График функции y = (x + 4)² + 2 будет выглядеть следующим образом:

luaCopy code
           |
       +   |
       |   |
       |   |
   +---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---+
       |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |
           |
           |           +--------------+
           |           |              |
           |           |              |
           |           |      *       |
           |           |    ( -4, 2 ) |
           |           |              |
           |           |              |
  ---------|-----------|--------------|--------->
           |           |              |
           |           |              |
           |           |              |
           |           |              |
           |           +--------------+
           |
           |

На графике выше мы видим параболу, вершина которой находится в точке (-4, 2), и она направлена вверх. График всегда находится выше оси x и не пересекает ее. Область определения D(f) - это все действительные числа, а область значений E(f) - все действительные числа, большие или равные 2. Функция возрастает на интервале (-∞, -4) и убывает на интервале (-4, +∞).

г) Экстремум функции - это точка, в которой функция достигает наименьшего или наибольшего значения. В данном случае, у нас есть минимум функции, который равен 2 и достигается в точке (-4, 2). Это следует из того, что парабола направлена вверх, и ее вершина представляет собой минимальное значение функции.

Таким образом, экстремум функции: Минимум: f(-4) = 2.