Question

Помогите пожалуйста решить производную функции f(x)=cosx/1-sinx

Answer 1

$f'(x)=(\frac{cosx}{1-sinx})' = \frac{(cosx)'(1-sinx)-(cosx)(1-sinx)'}{(1-sinx)^2} =\\ \\ =\frac{-sinx(1-sinx)-(cosx)(-cosx)}{(1-sinx)^2}= \frac{sin^2x-sinx+cos^2x}{(1-sinx)^2}= \\ \\ =-\frac{sinx}{(1-sinx)^2}$

Answer 2

Для решения производной функции $f(x) = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$, воспользуемся правилами дифференцирования.

1. Применяем правило частного производной: $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \cdot \frac{du}{dx} - u \cdot \frac{dv}{dx}}{v^2},$ где $u = \cos x$ и $v = 1 - \sin x$.

2. Находим производные $du/dx$ и $dv/dx$: $\frac{du}{dx} = -\sin x, \quad \frac{dv}{dx} = -\cos x.$

3. Подставляем найденные значения в формулу производной: $\frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x}{1 - \sin x} \right) = \frac{(1 - \sin x) \cdot (-\sin x) - \cos x \cdot (-\cos x)}{(1 - \sin x)^2}.$

4. Упрощаем выражение: $\frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x}{1 - \sin x} \right) = \frac{-\sin x + \sin^2 x - \cos^2 x}{(1 - \sin x)^2}.$

5. Используем тригонометрические тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $\frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x}{1 - \sin x} \right) = \frac{-\sin x + (1 - \cos^2 x) - \cos^2 x}{(1 - \sin x)^2}.$

6. Упрощаем еще раз: $\frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x}{1 - \sin x} \right) = \frac{-2\cos^2 x + 1 - \sin x}{(1 - \sin x)^2}.$

Таким образом, производная функции $f(x) = \frac{\cos x}{1 - \sin x}$ равна: $f'(x) = \frac{-2\cos^2 x + 1 - \sin x}{(1 - \sin x)^2}.$