Question

Знайти невизначені інтеграли: 1) ∫ 2xdx / (9-x²) 2) ∫ x³+㏑xdx

Answer 1

task/30279505   Найти неопределенный интеграл

1.  ∫2xdx / (9 -x²)   = - ∫d(9 -x²) / ( 9 -x²) = - ln|9 -x²| + C  .

2.  ∫(x³ +lnxdx = ∫x³dx  +∫lnxdx  =x⁴/4 +x*lnx - ∫xd(lnx) =

x⁴/4 +x*lnx - ∫(x/x)dx =x⁴/4 +x*lnx - ∫dx =x⁴/4 +x*lnx - x + C .

Answer 2

1. Невизначений інтеграл ∫(2x)dx / (9-x²):

Щоб знайти цей інтеграл, спростимо спочатку підінтегральний вираз, розклавши знаменник на множники:

9 - x² = (3)² - x² = (3 + x)(3 - x)

Тепер розкладемо функцію на прості дроби за допомогою не відомих коефіцієнтів A і B:

(2x) / (9 - x²) = (A / (3 + x)) + (B / (3 - x))

Множимо обидві частини на (9 - x²), щоб звільнитись від знаменників:

2x = A(3 - x) + B(3 + x)

Тепер визначимо коефіцієнти A і B, порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x:

2x = 3A - Ax + 3B + Bx

Тепер зіберемо всі члени з x разом:

2x = (-A + B)x + 3A + 3B

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x, отримуємо систему рівнянь:

• A + B = 2 ...(1) 3A + 3B = 0 ...(2)

З (2) можемо виділити 3:

3(A + B) = 0

A + B = 0

Тепер можемо знайти значення A і B, розв'язавши систему:

• A + B = 2 A + B = 0

Додаємо обидва рівняння:

2B = 2

B = 1

Тепер підставимо B у (1):

-A + 1 = 2

-A = 1

A = -1

Отже, отримали, що A = -1 і B = 1.

Тепер замінимо знайдені коефіцієнти у виразі:

∫(2x)dx / (9-x²) = ∫((-1) / (3 + x))dx + ∫(1 / (3 - x))dx

Тепер можемо обчислити ці інтеграли:

∫((-1) / (3 + x))dx = -∫(1 / (3 + x))dx = -ln|3 + x| + C₁

∫(1 / (3 - x))dx = ln|3 - x| + C₂

Тут C₁ та C₂ - це константи інтегрування.

Підсумовуючи, отримуємо відповідь:

∫(2x)dx / (9-x²) = -ln|3 + x| + ln|3 - x| + C, де C = C₂ - C₁ - це також константа інтегрування.

2. Невизначений інтеграл ∫(x³ + ㏑x)dx:

Щоб знайти цей інтеграл, інтегруємо кожний доданок окремо:

∫x³dx = (x^(3+1)) / (3+1) + C₁ = (x^4) / 4 + C₁

∫㏑xdx - це інтеграл від натурального логарифму, що є більш складним інтегралом. Він не має простого аналітичного виразу.

Отже, остаточна відповідь буде:

∫(x³ + ㏑x)dx = (x^4) / 4 + ∫㏑xdx + C, де C - це константа інтегрування.