Question

петя перемножив декілька послідовних натуральних чисел, починаючи з 10 Вася перемножив стільки ж чисел починаючи з 11 добуток Васі виявився у 7 разів більшим ніж добуток у петі скільки чисел перемножив кожен з них

Answer 1

Допустим, Петя перемножил числа от 10 до a, Вася перемножил числа от 11 до b. Возьмём произведение Васи за x, а Пети за y. Тогда $\frac{x}{y}=7$

В такой дроби сократится всё произведение, кроме числа, на котором остановился Вася и первого взятого Петей. Получим:

$\frac{b}{10}=7$

$b=70$

Вася умножал числа с 11, так что перемножил как он, так и Петя, 70-11=59 чисел.

Answer 2

Давайте позначимо добуток Петі через P і добуток Васі через V.

Петя почав з числа 10, тобто маємо: P = 10 * (10 + 1) * (10 + 2) * ... * (10 + n) (де n - кількість чисел, які перемножив Петя)

Вася почав з числа 11, тобто маємо: V = 11 * (11 + 1) * (11 + 2) * ... * (11 + n)

За умовою задачі, добуток Васі виявився у 7 разів більшим, ніж добуток Петі, тобто:

V = 7 * P

Тепер ми можемо записати вираз для добутку Васі:

7 * P = 11 * (11 + 1) * (11 + 2) * ... * (11 + n)

А тепер запишемо вираз для добутку Петі:

P = 10 * (10 + 1) * (10 + 2) * ... * (10 + n)

Тепер розділимо одне рівняння на інше:

(7 * P) / P = (11 * (11 + 1) * (11 + 2) * ... * (11 + n)) / (10 * (10 + 1) * (10 + 2) * ... * (10 + n))

7 = (11 * (11 + 1) * (11 + 2) * ... * (11 + n)) / (10 * (10 + 1) * (10 + 2) * ... * (10 + n))

Тепер знайдемо спільний знаменник для числових послідовностей 11, 12, 13, ..., (11 + n) і 10, 11, 12, ..., (10 + n). Зауважимо, що кожне число в числовій послідовності 11, 12, 13, ..., (11 + n) більше відповідного числа в числовій послідовності 10, 11, 12, ..., (10 + n) на 1.

Таким чином, ці послідовності мають спільний знаменник (10 + n), тому:

7 = (11 * (11 + 1) * (11 + 2) * ... * (11 + n)) / (10 * (10 + 1) * (10 + 2) * ... * (10 + n))

7 = (11 * 12 * 13 * ... * (11 + n)) / (10 * 11 * 12 * ... * (10 + n))

Тепер зменшимо на одиницю кожне число у чисельнику:

7 = ((11 - 1) * (12 - 1) * (13 - 1) * ... * (11 + n - 1)) / ((10 - 1) * (11 - 1) * (12 - 1) * ... * (10 + n - 1))

7 = (10 * 11 * 12 * ... * (11 + n - 1)) / (9 * 10 * 11 * ... * (10 + n - 1))

Зараз бачимо, що багато членів у чисельнику та знаменнику скоротяться. Залишається:

7 = (11 + n - 1) / 9

Тепер розв'яжемо рівняння відносно n:

7 * 9 = 11 + n - 1

63 = 11 + n - 1

63 - 11 + 1 = n

n = 53

Таким чином, кожен з Петі та Васі перемножив 53 числа.