Question

В треугольнике заданы вершина А(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины. Найти координаты остальных вершин, составить уравнения сторон, а также найти длину высоты треугольника.

Answer 1

task/30246276   А(4 ; 6) ;  m(b):  x - 5y +7=0 ;  h(b): x + 4y - 2= 0  ⇔y=(-1/4)*x +1/2.

решение   Для определенности пусть медиана BM , а  высота BH .  Координаты этой вершины  B определяется в результате решения системы  { x -5y +7=0 ; x + 4y-2= 0. ⇔{x-5y +7=0; 9y =9. ⇔{ x= -2 ; y= 1 .   B(- 2; 1).  

Уравнение стороны  AC будет имеет вид  y - 6 = k(x - 4) ;  угловой коэффициент  k определяется из  k* k₁= - 1 , где  k₁  угловой коэффициент прямой  BH (т.к. AC⊥ BH ):  x+4y -2=0 ⇔ y = (-1/4)x +1/2.       ( k₁ = -1/4 ⇒ k = 4 ).  y - 6 = 4(x - 4)    

уравнение стороны  AC :  4x - y - 10 = 0 .  * * *(1/√17)*(4x -y -10) =0 * * *  

  Для определения  координаты вершины С сначала определим координаты середины  стороны AC (точка M) , а для этого достаточно решить систему уравнений ( уравнении  прямых AC и  BM) :

{ x- 5y +7=0 ; 4x - y - 10 = 0.  ⇔ { x=3; y =2 .                     M(3 ; 2)  

x(C) =2x(М)-x(A) =2*3-4 =2 ; y(C) =2y(М)-y(A) =2*2-6 =-2.  C(2 ; -2)

* * * т.к.  x(М)= ( x(A) + x(C) ) / 2  ;   y(М)=( y(A) +y(C) ) / 2.  * * *

Уравнение прямой AB: y-6=[(1-6):(-2-4)]*(x -4) ⇔5x - 6y +16 =0.

* * *  уравнение прямой проходящей через точек М(x₁ ; y₁) и N(x₂;y₂) →  y - y₁ =[ (y₂ -y₁) / (y₂ -y₁) ] * (x -x₁ )   ;    k = (y₂ -y₁) / (x₂ -x₁)   * * *

Уравнение прямой BC: y-1=[(-2-1):(2 -(-2)]*(x -(-2)) ⇔ 3x+4y +2 =0.

Длина высоты BH (расстояние от точки B(-2 ; 1) до прямой AC ).  Нормальное  уравнение   прямой  AC:  (4x - y - 10) /√17  = 0                          * * * (4x - y - 10) /√(4²+ (-1)²)  = 0 * * *

d = | 4*(-2) - 1 - 10 |  / √17 =  19 /√17 .

Answer 2

Чтобы решить данную задачу, давайте следовать поэтапно:

1. Найдем координаты вершины треугольника, из которой выходят медиана и высота.
2. Найдем координаты остальных вершин треугольника.
3. Составим уравнения сторон треугольника.
4. Найдем длину высоты треугольника.

Шаг 1: Найдем вершину треугольника, из которой выходят медиана и высота.

Уравнение медианы имеет вид: x - 5y + 7 = 0 Уравнение высоты имеет вид: x + 4y - 2 = 0

Для того чтобы найти вершину треугольника, из которой выходят медиана и высота, нужно решить систему уравнений этих прямых. Найдем точку пересечения этих двух прямых:

Способ 1: Метод замены

Из уравнения медианы: x = 5y - 7

Подставим это значение x в уравнение высоты: 5y - 7 + 4y - 2 = 0 9y - 9 = 0 9y = 9 y = 1

Теперь найдем x, подставив y обратно в уравнение медианы: x = 5(1) - 7 x = 5 - 7 x = -2

Итак, первая вершина треугольника А(4, 6). Вторая вершина (вершина пересечения медианы и высоты) В(-2, 1).

Шаг 2: Найдем координаты остальных вершин треугольника.

Так как точка С лежит на медиане из вершины А(4, 6), ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат вершин А и В:

xс = (xа + xb) / 2 yc = (ya + yb) / 2

xс = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1 yc = (6 + 1) / 2 = 7 / 2 = 3.5

Таким образом, третья вершина С(1, 3.5).

Шаг 3: Составим уравнения сторон треугольника.

AB - это медиана, которая проходит через точку (1, 3.5), найденную в предыдущем шаге. Таким образом, уравнение стороны AB можно получить, подставив координаты точки В(-2, 1) и С(1, 3.5) в уравнение прямой:

Уравнение стороны AB: (y - yb) = ((yb - yc) / (xb - xc)) * (x - xb)

(y - 1) = ((1 - 3.5) / (-2 - 1)) * (x + 2)

(y - 1) = (-2.5 / -3) * (x + 2)

(y - 1) = (5/6) * (x + 2)

6(y - 1) = 5(x + 2) 6y - 6 = 5x + 10 5x - 6y = -16 (Уравнение стороны AB)

BC - это высота, которая проходит через точку А(4, 6), найденную в шаге 1. Таким образом, уравнение стороны BC можно получить, подставив координаты точки А(4, 6) и С(1, 3.5) в уравнение прямой:

Уравнение стороны BC: (y - ya) = ((ya - yc) / (xa - xc)) * (x - xa)

(y - 6) = ((6 - 3.5) / (4 - 1)) * (x - 4)

(y - 6) = (2.5 / 3) * (x - 4)

(y - 6) = (5/6) * (x - 4)

6(y - 6) = 5(x - 4) 6y - 36 = 5x - 20 5x - 6y = -16 (Уравнение стороны BC, мы получили такое же уравнение, как и у стороны AB)

Шаг 4: Найдем длину высоты треугольника.

Для этого нужно найти расстояние между вершинами С(1, 3.5) и точкой пересечения медианы и высоты В(-2, 1). Используем формулу для расстояния между двумя точками:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

d = √((-2 - 1)^2 + (1 - 3.5)^2)

d = √((-3)^2 + (-2.5)^2)

d = √(9 + 6.25)

d = √15.25 ≈ 3.9

Таким образом, длина высоты треугольника (расстояние между вершинами С и В) примерно равна 3.9.