Question

Помогите решить найти производную y=cos^3*4x+x*8^x2

Answer 1

y = 3*cos^2*4 + 8^x2 + x*x2*8^(2x-1). Смотри формулы

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции y = cos^3(4x) + x*8^(x^2), мы будем использовать правила дифференцирования элементарных функций и свойства производной.

1. Применим правило дифференцирования суммы: (u + v)' = u' + v'

2. Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Начнем с первого слагаемого y1 = cos^3(4x):

Для этого слагаемого мы используем цепное правило (chain rule) и правило дифференцирования степенной функции.

Пусть u = cos(4x), тогда y1 = u^3.

Тогда y1' = 3u^2 * u', где u' - производная cos(4x).

Производная cos(4x) равна: u' = d/dx (cos(4x)) = -sin(4x) * d/dx(4x) = -4sin(4x).

Теперь подставим это обратно в y1': y1' = 3cos^2(4x) * (-4sin(4x)) = -12cos^2(4x)sin(4x).

Теперь найдем производную второго слагаемого y2 = x * 8^(x^2):

Для этого слагаемого мы используем правило дифференцирования произведения.

Пусть u = x, v = 8^(x^2), тогда y2 = u * v.

Тогда y2' = u' * v + u * v', где u' - производная x, а v' - производная 8^(x^2).

Производная x равна: u' = d/dx(x) = 1.

Производная 8^(x^2) по цепному правилу равна: v' = d/dx(8^(x^2)) = ln(8) * d/dx(x^2) * 8^(x^2) = ln(8) * 2x * 8^(x^2).

Теперь подставим это обратно в y2': y2' = 1 * 8^(x^2) + x * ln(8) * 2x * 8^(x^2) = 8^(x^2) + 2x^2 * ln(8) * 8^(x^2).

Теперь найденные производные y1' и y2' объединяем, чтобы получить производную y:

y' = y1' + y2' = -12cos^2(4x)sin(4x) + 8^(x^2) + 2x^2 * ln(8) * 8^(x^2).

Таким образом, производная функции y = cos^3(4x) + x*8^(x^2) равна -12cos^2(4x)sin(4x) + 8^(x^2) + 2x^2 * ln(8) * 8^(x^2).