Question

Найти все первообразные функции f(x)=2cosx-12x^2-2x

Answer 1

S [(2cosx)-(12x^2)-(2x)]dx = 2sinx-12x^3/3-2x^2/2 +C.


S - интеграл.
интеграл от суммы - сумма интегралов;
постоянный множитель можно вынести за знак интеграла .

Answer 2

Для того чтобы найти все первообразные (интегралы) функции f(x), сначала найдем её интеграл по отдельным частям.

У нас есть функция f(x): f(x) = 2cos(x) - 12x^2 - 2x

Мы знаем, что интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций, поэтому разобьем функцию f(x) на три части и найдем интеграл каждой части по отдельности:

1. Интеграл от 2cos(x): ∫2cos(x) dx = 2∫cos(x) dx = 2sin(x) + C1, где С1 - произвольная постоянная.

2. Интеграл от -12x^2: ∫-12x^2 dx = -12∫x^2 dx = -12 * (x^3 / 3) + C2, где С2 - произвольная постоянная.

3. Интеграл от -2x: ∫-2x dx = -2∫x dx = -x^2 + C3, где С3 - произвольная постоянная.

Теперь объединим полученные результаты: Интеграл от f(x) равен сумме интегралов от каждой части: ∫(2cos(x) - 12x^2 - 2x) dx = (2sin(x)) - (12 * (x^3 / 3)) - (x^2) + C, где С - это произвольная постоянная, объединяющая все постоянные из предыдущих интегралов.

Итак, общий интеграл функции f(x) равен: ∫(2cos(x) - 12x^2 - 2x) dx = 2sin(x) - 4x^3 - x^2 + C.

Таким образом, первообразные функции для данной функции f(x) равны 2sin(x) - 4x^3 - x^2 + C, где С - произвольная постоянная.