Question

Решить неравенство √(2х-1)/(х-2)<1

Answer 1

√(2х-1)/(х-2)<1

одз  подкоренное выражение больше равно 0

2x-1>=0  x>=0.5

заметим что левая часть отрицательна при x<2

значит одна часть решения есть [0.5, 2)

теперь решаем при x>2 левая и правая части положительны и мы можем возвести их в кавадрат, и это будет равносильно

(2x-1)/(x-2)² < 1²

(2x-1)/(x²-4x+4) - 1 < 0

( (2x-1) - (x²-4x+4)) / (x-2)² < 0 от знаменателя можно избавиться он всегда положителен и не равен 0 так как x>2

2x - 1 - x² + 4x - 4 < 0

-x² + 6x - 5 < 0

x² - 6x + 5 > 0

D=36-20=16    x12=(6+-4)/2 = 1 5

(x-1)(x-5)>0

применяем метод интервалов

+++++++++++(1) ------------------ (5) ++++++++++

x∈(-∞  1) U (5 +∞) вспоминаем что x>2 значит x∈(5 + ∞)

объединяем с первой частью решения и получаем

Ответ  x∈[0.5  2) U (5 +∞)

Answer 2

Для решения неравенства √(2x-1)/(x-2) < 1, следует выполнить несколько шагов:

1. Начнем с условия, что знаменатель (x-2) не может быть равен нулю, так как это привело бы к делению на ноль, что недопустимо. Поэтому x ≠ 2.

2. Умножим обе стороны неравенства на (x-2) (положительное число, поскольку x ≠ 2), чтобы избавиться от знаменателя:

√(2x-1) < (x-2)

3. Возводим обе стороны неравенства в квадрат (помните, что мы можем сделать это, потому что обе стороны положительны):

(2x-1) < (x-2)^2

4. Раскрываем квадрат справа:

(2x-1) < x^2 - 4x + 4

5. Переносим все термины в левую сторону неравенства:

x^2 - 4x + 4 - 2x + 1 > 0

6. Упрощаем выражение:

x^2 - 6x + 5 > 0

7. Решим квадратное уравнение x^2 - 6x + 5 = 0:

(x - 5)(x - 1) = 0

8. Найдем значения x, соответствующие равенству:

a) x - 5 = 0 => x = 5 b) x - 1 = 0 => x = 1

9. На основе полученных корней разобьем числовую ось на интервалы и определим знак выражения x^2 - 6x + 5 на каждом интервале:

x < 1 : ( - )(-)(-)(-) = (-) (отрицательное значение) 1 < x < 5 : ( - )(+)(-)(-) = (+) (положительное значение) x > 5 : ( + )(+)(+)(+) = (+) (положительное значение)

10. Наконец, найдем ответ:

√(2x-1)/(x-2) < 1

Таким образом, неравенство выполняется при x < 1 и при x > 5. Ответом будет объединение этих интервалов: x ∈ (-∞, 1) и (5, +∞).