Question

SOS!SOS!SOS! решите неравенство 2^(2-x)>2x-3

Answer 1

$2^{2-x}>2x-3\medskip\\2^{2-x}-2x+3>0$

Заметим, что $x=2$ - единственный корень уравнения $2^{2-x}-2x+3=0$ , следовательно, график функции $f(x)=2^{2-x}-2x+3$ пересечёт ось абсцисс один раз в точке $x=2$. С корнем и по непрерывности данной функции, поймём, где она будет отрицательна, а где - положительна. Для этого найдём значения функции в точках больше и меньше $2$.

$f(3)=2^{2-3}-6+3=0{,}5-6+3=-2{,}50$

Значит, наша функция следовала из своих положительных значений и прошла точку $(2;0)$ к отрицательным. Следовательно, функция была положительна при $x\in\left(-\infty;\, 2)$.

Ответ. $x\in\left(-\infty;\, 2)$

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте постепенно проанализируем его шаг за шагом:

1. Начнем с переноса всех членов на одну сторону неравенства: 2^(2 - x) - (2x - 3) > 0

2. Перепишем левую часть неравенства с помощью свойства степени: 2^(2 - x) - 2^x > 0

3. Теперь посмотрим на возможность применения свойства степеней, которое гласит: a^b - a^c = a^(b - c). Применим это свойство: 2^(2 - x) - 2^x = 2^2 * 2^(-x) - 2^x = 4 * 2^(-x) - 2^x = 4/(2^x) - 2^x

4. Теперь имеем неравенство: 4/(2^x) - 2^x > 0

5. Заметим, что здесь имеется дробь и степень. Для упрощения дроби, домножим обе стороны неравенства на 2^x: 4 - 2^(2x) > 0

6. Теперь приведем неравенство к квадратному виду: -2^(2x) + 4 > 0

7. Перенесем все члены на одну сторону: -2^(2x) > -4

8. Теперь разделим обе стороны на -1, при этом не забыв, что при делении неравенства на отрицательное число меняем направление неравенства: 2^(2x) < 4

9. Возводим обе стороны в степень 1/2 (квадратный корень): 2x < 2

10. Наконец, делим обе стороны на 2: x < 1

Таким образом, решением данного неравенства является x < 1.