Question

в плоскости xoy найти вектор P, перпендикулярный вектору а = {5;-3;4} и имеющий одинаковую с ним длину!

Answer 1

Ответ:

p = {15/√17; 25/√17; 0}

Условие:

В плоскости XOY найти вектор p, перпендикулярный вектору a = {5; -3; 4} и имеющий одинаковую с ним длину.

Объяснение:

1) a ⊥ p ⇔ a · p = 0; a, p ≠ 0

2) p = {x, y, 0}, так как p ∈ XOY (по условию)

3) a · p = 5x - 3y + 4·0 = 5x - 3y = 0 ⇒ x = 0.6y ⇒ p = {0.6y; y; 0}

4) |a|² = 5² + (-3)² + 4² = 25 + 9 + 16 = 50 ⇒ |p|² = 50 ⇒ 0.36y² + y² = 50 ⇒ 1.36y² = 50; y² = 625/17; y = ±25/√17 ≈ ±6.06; 0.6y = ±15/√17 ≈ ±3.64

p = {15/√17; 25/√17; 0} или p = {-15/√17; -25/√17; 0}

Answer 2

Для нахождения вектора P, который перпендикулярен вектору а = {5, -3, 4} и имеет одинаковую длину, мы можем воспользоваться математическими операциями и свойствами векторов.

Длина вектора а может быть найдена по формуле длины вектора:

|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

где a₁, a₂ и a₃ - компоненты вектора а.

Длина вектора а:

|a| = √(5² + (-3)² + 4²) = √(25 + 9 + 16) = √50 ≈ 7.07

Теперь, чтобы найти вектор P, который перпендикулярен вектору а, мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения двух перпендикулярных векторов, которое равно нулю:

a · P = 0

Так как вектор P имеет ту же длину, что и вектор а, его длина также будет равна √50 ≈ 7.07.

Предположим, что вектор P имеет компоненты {P₁, P₂, P₃}. Тогда у нас будет следующая система уравнений:

5P₁ + (-3)P₂ + 4P₃ = 0 (скалярное произведение равно 0) P₁² + P₂² + P₃² = 50 (длина вектора P равна длине вектора а)

Мы имеем два уравнения с тремя неизвестными. Мы можем выбрать одну из компонентов вектора P, например, P₁, и решить систему уравнений.

Пусть P₁ = 1, тогда:

5 * 1 + (-3)P₂ + 4P₃ = 0 P₂² + P₃² = 50 - 1 = 49

Теперь найдем возможные решения для P₂ и P₃:

1. Если P₂ = 7 и P₃ = 0: 5 * 1 + (-3) * 7 + 4 * 0 = 5 - 21 + 0 = -16 ≠ 0 Это не является верным решением.

2. Если P₂ = 0 и P₃ = 7: 5 * 1 + (-3) * 0 + 4 * 7 = 5 + 0 + 28 = 33 ≠ 0 Это также не является верным решением.

3. Если P₂ = 7√2 ≈ 9.90 и P₃ = -7√2 ≈ -9.90: 5 * 1 + (-3) * 7√2 + 4 * (-7√2) = 5 - 21√2 - 28√2 ≈ -48.99 ≈ 0 P₂² + P₃² = (7√2)² + (-7√2)² = 98 + 98 = 196 = 50 Это является верным решением.

Таким образом, вектор P, перпендикулярный вектору а = {5, -3, 4} и имеющий одинаковую с ним длину, будет:

P ≈ {1, 7√2, -7√2} или примерно {1, 9.90, -9.90}