Question

Производная какой функции равна arcsin(x)?

Answer 1

Чтобы найти все такие функции, нужно взять интеграл от arcsin(x):

$\displaystyle\int \arcsin x dx$

Этот интеграл берётся с помощью формулы интегрирования по частям (по сути это вывернутая наизнанку формула производной от произведения):

$\displaystyle\int udv=uv-\displaystyle\int vdu$

Обозначим u=arcsin x. Тогда

$></p> <p>Теперь применяем формулу:</p> <p><img src=$

где С - произвольная константа.

Проверим, взяв производную от ответа:

$(x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C)'=\arcsin x+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} -\frac{2x}{2\sqrt{1-x^2}} +0=\arcsin x$

Всё верно.

Answer 2

Для найти функцию, производной которой является arcsin(x), мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна arcsin(x).

Итак, пусть F(x) имеет производную F'(x) = arcsin(x). Тогда мы знаем, что производная arcsin(x) равна:

d/dx (arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)

Теперь мы хотим найти F(x) такую, что F'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2). Для этого проинтегрируем обе стороны уравнения по x:

∫[F'(x) dx] = ∫[(1 / sqrt(1 - x^2)) dx]

Теперь проинтегрируем правую часть. Для этого сделаем замену переменных, положим u = 1 - x^2, тогда du = -2x dx:

∫[(1 / sqrt(1 - x^2)) dx] = ∫[(1 / sqrt(u)) * (-1/2) du]

Теперь это стандартный интеграл ∫(1/√u) du, который легко решается:

∫[(1 / sqrt(u)) * (-1/2) du] = -1/2 * ∫(1/√u) du = -√u + C

Теперь вернемся к переменной x:

-√u + C = -√(1 - x^2) + C

Таким образом, F(x) = -√(1 - x^2) + C, где C - произвольная постоянная.