Question

Дослідіть функцію на екстремуми f(x) = х3 – 3х

Answer 1

Функция f(x) = х³ – 3х

Производная функции f'(x) = 3x² - 3

Приравниваем производную к нулю: 3x² - 3 = 0

или х² - 1 = 0

Находим корни уравнения х² - 1 = 0

х1 = 1;   х2 = - 1

Согласно свойствам квадратичной функции

у' > 0 при х∈(- ∞; -1)U(1: +∞) и у' < 0 при х∈(-1; 1)

Это значит, что в точке х = -1 производная меняет знак с + на - , и в этой точке максимум.

А в точке х = 1 производная меняет знак с - на +,  и в этой точке функция имеет минимум

Answer 2

Для того щоб знайти екстремуми функції $f(x) = x^3 - 3x$, ми спочатку знайдемо похідну функції і прирівняємо її до нуля. Значення $x$, що задовольняють цю умову, відповідають можливим точкам екстремуму.

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - 3$

2. Прирівняємо $f'(x)$ до нуля, щоб знайти можливі точки екстремуму: $3x^2 - 3 = 0$

3. Розв'яжемо рівняння для $x$: $3x^2 = 3$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$

Отже, можливі точки екстремуму цієї функції знаходяться при $x = -1$ і $x = 1$.

Тепер знайдемо значення функції $f(x)$ в цих точках:

Для $x = -1$: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$

Для $x = 1$: $f(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

Отже, функція досягає локального мінімуму у точці $x = 1$ зі значенням $f(1) = -2$ та локального максимуму у точці $x = -1$ зі значенням $f(-1) = 2$.