Question

Докажите что 25^7 + 125^4 кратно 26

Answer 1

25⁷ + 125⁴ = ( 5² )⁷ + ( 5³ )⁴ = 5¹⁴ + 5¹² = 5¹² • ( 5² + 1 ) = 5¹² • 26

В итоге убеждаемся, что данное число кратно 26 , что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $25^7 + 125^4$ кратно 26, нужно показать, что оно делится на 26 без остатка, то есть что остаток от деления этого выражения на 26 равен нулю.

Давайте разберемся с этим. Во-первых, представим выражение $125^4$ как $(25^3)^4$, что равносильно $25^{12}$. Теперь у нас есть $25^7 + 25^{12}$.

Мы знаем, что $25$ делится на $26$ без остатка, так как $25 = 1 \cdot 26 - 1$. Теперь давайте посмотрим на степень $25$ в выражении $25^7 + 25^{12}$:

$25^{7} = 25^{6} \cdot 25 = (25^{2})^{3} \cdot 25 = (625)^{3} \cdot 25 = (624 + 1)^{3} \cdot 25 = 624^3 \cdot 25 + 3 \cdot 624^2 \cdot 25 + 3 \cdot 624 \cdot 25 + 25$.

Заметим, что каждый член $624^n \cdot 25$ делится на 26 без остатка, так как $624$ делится на $26$ без остатка ($624 = 24 \cdot 26$), и умножение на $25$ не влияет на кратность 26.

Теперь, когда мы сложим $25^7$ и $25^{12}$, все члены, содержащие $624^n \cdot 25$, будут сокращаться, и останется только $25$:

$25^7 + 25^{12} = 624^3 \cdot 25 + 3 \cdot 624^2 \cdot 25 + 3 \cdot 624 \cdot 25 + 25 = 25 \cdot (624^3 + 3 \cdot 624^2 + 3 \cdot 624 + 1)$.

Теперь остается проверить, делится ли $624^3 + 3 \cdot 624^2 + 3 \cdot 624 + 1$ на 26. Мы уже видели, что $624$ делится на 26, поэтому все остальные слагаемые также делятся на 26 без остатка. Таким образом, $25^7 + 25^{12}$ делится на 26 без остатка.

Следовательно, $25^7 + 125^4$ кратно 26.