Question

Докажите, что 25^7+125^4 кратно 26

Answer 1

25^7 + 125^4 =

(5^2)^7 + (5^3)^4 =

5^14 + 5^12 =

5^12 (5^2 + 1) =

5^12 (25 + 1)  =

5^12 х 26  = > кратно 26  

Answer 2

Чтобы доказать, что число 25^7 + 125^4 кратно 26, нужно показать, что разность между этим числом и нулем делится на 26 без остатка.

Давайте рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

1. 25^7: Для упрощения вычислений, заметим, что 25 = 26 - 1. Теперь представим 25^7 как (26 - 1)^7 и раскроем его с помощью биномиальной теоремы:

25^7 = (26 - 1)^7 = C(7, 0) * 26^7 + C(7, 1) * 26^6 * (-1) + C(7, 2) * 26^5 * (-1)^2 + ... + C(7, 6) * 26 * (-1)^6 + C(7, 7) * (-1)^7

Обратим внимание, что все слагаемые, начиная со второго (т.е., содержащие множители (-1)^n, где n > 0), содержат множитель 26 и, следовательно, делятся на 26 без остатка.

Теперь сосредоточимся на первом слагаемом:

C(7, 0) * 26^7 = 1 * 26^7 = 26^7

Теперь у нас есть два члена, которые содержат степень 26:

26^7 + C(7, 1) * 26^6 * (-1) = 26^7 - 7 * 26^6

2. 125^4: Заметим, что 125 = 26 * 4 + 1. Теперь представим 125^4 как (26 * 4 + 1)^4 и раскроем его с помощью биномиальной теоремы:

125^4 = (26 * 4 + 1)^4 = C(4, 0) * (26 * 4)^4 * 1 + C(4, 1) * (26 * 4)^3 * 1^2 + C(4, 2) * (26 * 4)^2 * 1^3 + C(4, 3) * (26 * 4) * 1^4 + C(4, 4) * 1^5

Аналогично, все слагаемые, начиная со второго, делятся на 26 без остатка.

Теперь сосредоточимся на первом слагаемом:

C(4, 0) * (26 * 4)^4 = 1 * (26 * 4)^4 = 26^4 * 4^4

Теперь у нас есть два члена, которые содержат степень 26:

26^4 * 4^4 + C(4, 1) * (26 * 4)^3 * 1^2 = 26^4 * 4^4 + 4 * 26^3 * 4^3

Теперь давайте объединим результаты обоих слагаемых:

(26^7 - 7 * 26^6) + (26^4 * 4^4 + 4 * 26^3 * 4^3) = 26^7 + 26^4 * 4^4 + 4 * 26^3 * 4^3 - 7 * 26^6

Мы хотим доказать, что это выражение кратно 26. Теперь заметим, что каждое слагаемое в этом выражении содержит множитель 26. Это значит, что выражение можно переписать так:

26 * (26^6 + 26^3 * 4^3 + 4^4 - 7)

Теперь давайте рассмотрим второе слагаемое в скобках:

26^6 + 26^3 * 4^3 + 4^4 - 7 = 26^6 + 26^3 * 64 + 256 - 7

Заметим, что 26^6 и 26^3 * 64 делятся на 26 без остатка (каждое из них содержит множитель 26). Также, 256 делится на 26 без остатка, потому что 256 = 26 * 9 + 2. И, наконец, число 7 также делится на 26, потому что 7 = 26 * 0 + 7.

Таким образом, получаем:

26 * (26^6 + 26^3 * 4^3 + 4^4 - 7) = 26 * (26^6 + 26^3 * 64 + 256 - 7) = 26 * (кратное 26)

Так как полученное выражение равно 26, умноженному на некоторое целое число, то оно кратно 26 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что число 25^7 + 125^4 кратно 26.