Question

Решите неравенство\sqrt[5]{x} +2\sqrt[10]{x} -8\leq 0 Найдите сумму всех целых решений неравенства

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для решения неравенства $\sqrt[5]{x} + 2\sqrt[10]{x} - 8 \leq 0$, давайте введем замену, чтобы упростить выражение. Обозначим $y = \sqrt[10]{x}$. Тогда $\sqrt[5]{x} = y^2$.

Подставим эту замену в исходное неравенство:

$y^2 + 2y - 8 \leq 0$

Теперь решим квадратное неравенство $y^2 + 2y - 8 \leq 0$. Для этого найдем его корни:

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$

Таким образом, $y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$x = y^{10}$

Подставим найденные значения $y_1$ и $y_2$ для нахождения соответствующих значений $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = (2)^{10} = 1024$

$x_2 = (-4)^{10} = 1048576$

Теперь найдем сумму всех целых решений неравенства:

$x_1 + x_2 = 1024 + 1048576 = 1049600$

Ответ: Сумма всех целых решений неравенства равна 1049600.