Question

Плиз помогите найти сумму целых решений неравенства (|5+x|-|x+3|) / (|x+4|-|x|) ≤0

Answer 1

Дробь неположительна, если её числитель неотрицателен, а знаменатель меньше нуля, или наоборот. Для решения следующих систем будем использовать метод рационализации: |f| - |g| v 0 ⇔ (f - g)(f + g) v 0.

I случай:

$\begin{equation*}\begin{cases}|x+5|-|x+3|\geq0\\ |x+4|-|x|$

II случай:

$\begin{equation*}\begin{cases} x\leq-4 \\ x>-2\end{cases}\end{equation*} \Rightarrow x\in\varnothing$

Целые решения неравенства: -4, -3. Их сумма равна -7.

Ответ: -7

Answer 2

Давайте разберемся с этим неравенством поэтапно.

Исходное неравенство: $\frac{|5+x|-|x+3|}{|x+4|-|x|} \leq 0$

Первым шагом найдем точки разрыва этой функции. Точки разрыва возникают там, где знаменатель обращается в ноль. Таким образом, у нас возникнут две такие точки, при $x=-4$ и $x=0$. Это происходит потому, что абсолютные значения $|x+4|$ и $|x|$ обращаются в ноль при этих значениях $x$.

Теперь, наша цель - выяснить, в каких интервалах между этими точками разрыва неравенство выполняется.

1. Проверим интервал $x < -4$: Выбираем произвольное значение из этого интервала, например, $x = -5$: $\frac{|5+(-5)|-|(-5)+3|}{|(-5)+4|-|(-5)|} = \frac{|0|-|(-2)|}{|-1|-5} = \frac{0-2}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3} > 0$

2. Проверим интервал $-4 < x < 0$: Выбираем произвольное значение из этого интервала, например, $x = -1$: $\frac{|5+(-1)|-|(-1)+3|}{|(-1)+4|-|(-1)|} = \frac{|4|-|2|}{|3|-1} = \frac{2}{2} = 1 > 0$

3. Проверим интервал $x > 0$: Выбираем произвольное значение из этого интервала, например, $x = 1$: $\frac{|5+1|-|1+3|}{|1+4|-|1|} = \frac{|6|-|4|}{|5|-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} > 0$

Теперь мы видим, что во всех трех интервалах неравенство $\frac{|5+x|-|x+3|}{|x+4|-|x|} \leq 0$ положительно.

Итак, ответ: сумма целых решений данного неравенства равна бесконечности, так как оно выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.