Question

Тригонометрическое уравнение: 2sin³x = cosx

Answer 1

$2\sin^3x=\cos x\sin^2x+\cos^3x\\2\tan^3x-\tan^2x-1=0\\\tan^3x-1+\tan^3-\tan^2x=(\tan x-1)(2\tan^2x+\tan x+1)=0\\\\\tan x=1\\x=\frac{\pi}{4}+\pi k\\\\\\2\tan^2x+\tan x+1=0$

У последнего уравнения нет корней так как дискриминант его отрицателен.

Answer 2

Чтобы решить уравнение 2sin³x = cosx, мы будем использовать алгебраические манипуляции и тригонометрические тождества.

Давайте перепишем уравнение, чтобы оно содержало только синус и косинус:

2sin³x - cosx = 0

Теперь давайте применим следующее тригонометрическое тождество:

sin²x + cos²x = 1

Умножим это тождество на sinx:

sin²xsinx + cos²xsinx = sinx

Теперь заменим sin²x в уравнении на выражение (1 - cos²x):

(1 - cos²x)sinx + cos²xsinx = sinx

Раскроем скобки:

sinx - cos²xsinx + cos²xsinx = sinx

После сокращения одинаковых слагаемых получаем:

sinx = sinx

Теперь мы видим, что уравнение 2sin³x - cosx = 0 тождественно истинно для любого значения x. Это означает, что уравнение имеет бесконечное количество решений.

Решение: x - любое действительное число (выражается в виде x = kπ, где k - целое число).