Question

Решите уравнение: 3tg^2+ctg^2=4

Answer 1

1) Умножить обе стороны на tan^2(x)

1 + 3tan^4(x) = 4tan^2(x)

2) Умножить обе стороны на 4tan^4(x)

1 - 4tan^2(x) + 3tan^4(x) = 0

3) Заменить y = tan^2(x)

3y^2 - 4y + 1 = 0

y = 1, y = 1/3

4) Подставить первый y в замену

tan^2(x) = 1

tan(x) = 1, tan(x) = -1

6) Развернуть первый tan

x1 = π/4 + π*n1, где n1∈ Z

7) Развернуть второй tan

x2 = π*n2 - π/4, где n2 ∈ Z

8) Повторить шаги 4-7 для второго y

tan^2(x) = 1/3

tan(x) = 1/√3, tan(x) = -1/√3

x3 = π/6 + π*n3, где n3∈ Z

x4 = π*n4 - π/6, где n4 ∈ Z

Answer 2

Для решения уравнения необходимо заметить, что "tg" обозначает тангенс, а "ctg" обозначает котангенс.

Уравнение: 3tg^2 + ctg^2 = 4

Мы знаем следующие тождества тригонометрии:

1. tg^2(x) + 1 = sec^2(x) (тангенс и секанс)
2. ctg^2(x) + 1 = cosec^2(x) (котангенс и косеканс)

Теперь можем переписать уравнение, используя эти тождества:

3tg^2(x) + ctg^2(x) = 3(sec^2(x) - 1) + (cosec^2(x) - 1) = 3sec^2(x) + cosec^2(x) - 4

Теперь уравнение стало:

3sec^2(x) + cosec^2(x) - 4 = 0

Заменим секанс и косеканс на их выражения через синус и косинус:

3(1/cos^2(x)) + 1/sin^2(x) - 4 = 0

Теперь приведем к общему знаменателю и объединим дроби:

(3sin^2(x) + cos^2(x)) / (sin^2(x) * cos^2(x)) - 4 = 0

Приведем числитель к общему знаменателю:

(3sin^2(x) + cos^2(x)) / (sin^2(x) * cos^2(x)) = (3sin^2(x) + 3cos^2(x)) / (sin^2(x) * cos^2(x))

Теперь уравнение выглядит так:

(3sin^2(x) + 3cos^2(x)) / (sin^2(x) * cos^2(x)) - 4 = 0

Теперь можем сократить на 3:

(sin^2(x) + cos^2(x)) / (sin^2(x) * cos^2(x)) - 4/3 = 0

Так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (это тождество тригонометрии), уравнение упрощается до:

1 / (sin^2(x) * cos^2(x)) - 4/3 = 0

Теперь домножим обе стороны на sin^2(x) * cos^2(x) (не забываем проверить, что sin(x) и cos(x) не равны нулю):

1 - (4/3) * sin^2(x) * cos^2(x) = 0

Теперь перенесем все в левую часть уравнения:

1 - (4/3) * sin^2(x) * cos^2(x) - 0 = 0

1 - (4/3) * sin^2(x) * cos^2(x) = 0

Теперь заметим, что (4/3) * sin^2(x) * cos^2(x) = (2/3) * (2 * sin(x) * cos(x))^2 = (2/3) * sin(2x)^2.

Таким образом, уравнение сводится к:

1 - (2/3) * sin(2x)^2 = 0

Теперь добавим (2/3) * sin(2x)^2 к обеим сторонам:

1 = (2/3) * sin(2x)^2

Теперь избавимся от коэффициента (2/3) с помощью деления:

sin(2x)^2 = 3/2

Теперь извлечем квадратный корень:

sin(2x) = ±√(3/2)

Теперь остается найти значения угла 2x, для которых sin(2x) равен ±√(3/2), и потом поделить на 2 для нахождения значений угла x.

Заметим, что √(3/2) ≈ 0.866.

Таким образом, у нас есть два случая:

1. sin(2x) = √(3/2)
2. sin(2x) = -√(3/2)

Для первого случая:

2x = arcsin(√(3/2)) 2x ≈ arcsin(0.866) 2x ≈ 60°

x ≈ 30°

Для второго случая:

2x = arcsin(-√(3/2)) 2x ≈ arcsin(-0.866) 2x ≈ -60°

x ≈ -30°

Таким образом, уравнение имеет два решения:

x ≈ 30° и x ≈ -30°.