Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=6x-x^2 и осью абсцисс

Answer 1

на оси абцисс y=0, т.е. 6x-x^2=0. Отсюда x=0 или x=6

Находим интеграл от 0 до 6 данной функции. И получаем:

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=6x-x^2 и осью абсцисс (ось x), нужно вычислить определенный интеграл функции между соответствующими пределами.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс (x-координатой). Для этого приравняем уравнение функции к нулю и решим уравнение:

6x - x^2 = 0

Вынесем общий множитель:

x(6 - x) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x=0 и x=6.

Теперь вычислим определенный интеграл от функции y=6x-x^2 на интервале [0, 6]:

Площадь = ∫[0, 6] (6x - x^2) dx

Вычислим интеграл:

∫(6x - x^2) dx = 6 * ∫x dx - ∫x^2 dx = 6 * (x^2/2) - (x^3/3) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь вычислим значение интеграла на интервале [0, 6]:

Площадь = [6 * (6^2/2) - (6^3/3)] - [6 * (0^2/2) - (0^3/3)] = [6 * 18 - 72] - [0 - 0] = (108 - 72) = 36.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=6x-x^2 и осью абсцисс, равна 36 квадратных единиц (единицы площади).