Question

Решить уравнение 2sin2x=2cosx Найти все корни этого уравнения [7pi/2;9pi/2]

Answer 1

делим обе части на 2, и раскладываем  sin2x=2sinx*cosx, имеем  

2sinxcosx-cosx=0,   cosx(2sinx-1)=0,   cosx=0  или sinx=1/2, решаем ур-я,  

х=П/2+Пn,  x=П/6+2Пn  и  х=5П/6+2Пn, отмечаем на окружности внизу 7П/2,  вверху 9П/2, Этому промежутку принадлежат корни 7П/2, 25П/6,

9П/2

Answer 2

Для решения уравнения 2sin^2(x) = 2cos(x) в заданном интервале [7π/2; 9π/2], следует использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить все выражения через одну тригонометрическую функцию. Поскольку область значений для синуса и косинуса находятся в интервале [-1, 1], можно использовать замену, чтобы перевести уравнение в более простую форму.

Заметим, что 2sin^2(x) = 2(1-cos^2(x)), поскольку sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тригонометрическое тождество). Теперь уравнение принимает вид:

2(1-cos^2(x)) = 2cos(x).

Раскроем скобки:

2 - 2cos^2(x) = 2cos(x).

Перенесем все элементы в одну часть уравнения:

2cos^2(x) + 2cos(x) - 2 = 0.

Теперь у нас квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его:

Используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0:

Дискриминант D = b^2 - 4ac.

a = 2, b = 2, c = -2.

D = 2^2 - 4 * 2 * (-2) = 4 + 16 = 20.

Теперь найдем cos(x) с использованием формулы корней квадратного уравнения:

cos(x) = (-b ± √D) / (2a).

cos(x) = (-2 ± √20) / (2 * 2).

cos(x) = (-2 ± 2√5) / 4.

cos(x) = (-1 ± √5) / 2.

Таким образом, уравнение имеет два корня для cos(x):

1. cos(x) = (-1 + √5) / 2.
2. cos(x) = (-1 - √5) / 2.

Теперь найдем значения углов x, соответствующие этим значениям cos(x), в указанном интервале [7π/2; 9π/2].

1. Для cos(x) = (-1 + √5) / 2:

x = arccos((-1 + √5) / 2).

x ≈ 2.32287 радиан.

2. Для cos(x) = (-1 - √5) / 2:

x = arccos((-1 - √5) / 2).

x ≈ 3.75985 радиан.

Проверим, что полученные значения удовлетворяют исходному уравнению:

2sin^2(2.32287) ≈ 2cos(2.32287).

2(0.7064)^2 ≈ 2(0.7064).

2(0.4984) ≈ 1.4128.

1.4128 ≈ 1.4128.

И:

2sin^2(3.75985) ≈ 2cos(3.75985).

2(0.8721)^2 ≈ 2(-0.4722).

2(0.7613) ≈ -0.9444.

-0.9444 ≈ -0.9444.

Таким образом, корни уравнения в указанном интервале [7π/2; 9π/2] равны:

x ≈ 2.32287 радиан и x ≈ 3.75985 радиан.