Question

Запишите уравнение касательной к шграфику функции y=(х²-4) / 2 в его точке с абцисссой х = 2

Answer 1

Уравнение касательной в точке x₀ функции f(x) выглядит следующим образом: y = f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀), где f'(x₀) - значение производной функции f(x) в точке x₀, f(x₀) - значение функции f(x) в точке x₀

$f(x) = \frac{x^2-4}{2}; x_0 = 2\\ \\ f(2) = \frac{4-4}{2} = \frac{0}{2} = 0 \\ \\ f'(x) = (\frac{1}{2} * (x^2-4))' = \frac{1}{2} * (x^2-4)' = \frac{1}{2} * 2x = x\\ \\ f'(2) = 2;\\ \\ y = 2(x-2)+0\\ \\ y = 2x-4$

Ответ: y = 2x-4 - касательная к графику функции f(x) в точке x₀=2

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции по переменной x.
2. Подставить значение x = 2 в полученную производную, чтобы найти значение производной в точке x = 2.
3. Используя найденное значение производной и точку (2, y), составить уравнение касательной в форме y - y₁ = m(x - x₁), где (x₁, y₁) - точка касания, а m - значение производной в этой точке.

Давайте выполним эти шаги:

1. Найдем производную функции y = (x² - 4) / 2 по переменной x: y' = d/dx[(x² - 4) / 2] y' = (1/2) * d/dx(x² - 4) y' = (1/2) * (2x) y' = x

2. Теперь подставим x = 2 в производную: y'(2) = 2

3. Теперь, используя найденное значение производной и точку (2, y), составим уравнение касательной: y - y₁ = m(x - x₁) y - y(2) = 2(x - 2) y - (2² - 4) / 2 = 2(x - 2) y - (4 - 4) / 2 = 2(x - 2) y - 0 = 2(x - 2) y = 2(x - 2)

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = (x² - 4) / 2 в точке с абсциссой x = 2 имеет вид y = 2(x - 2).