Question

Используя свойства числовых неравенств докажите что функция у=-3х^5-4х^3-х убывает.

Answer 1

возьмем х2>x1

y(x2)=-x2^5-x2+3     y(x1)=-x1^5-x1+3

y(x2)-y(x1)=x1^5-x2^5+x1-x2     x1-x2<0

x1^5-x2^5<0  так как х2>x1

значит, с ростом x убывает у - убывающая ф-ия

Answer 2

Для доказательства, что функция убывает, нужно показать, что её производная отрицательна на всем интервале определения. Давайте найдем производную функции у по переменной х:

у = -3х^5 - 4х^3 - х

Производная функции у по переменной х (у'):

у' = d/dx (-3х^5 - 4х^3 - х) = -15х^4 - 12х^2 - 1

Теперь, чтобы доказать, что функция убывает, нужно показать, что у' < 0 на всем интервале определения. Это можно сделать, показав, что коэффициенты при каждой степени х отрицательны:

-15х^4 < 0 для всех x -12х^2 < 0 для всех x -1 < 0 для всех x

Так как коэффициенты при каждой степени х отрицательны, а умножение на отрицательное число не меняет знак неравенства, то у' < 0 для всех x.

Итак, мы показали, что производная у функции у отрицательна на всем интервале определения, что значит, что функция убывает на этом интервале.