Question

Сформулируйте свойства квадратного корня

Answer 1

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

(a−−√=x, x2=a; x, a≥0)(√ ​a  = x, x ​2 = a; x, a ≥ 0).

Answer 2

Квадратный корень – это математическая операция, обратная возведению в квадрат. Если число $x$ является квадратом другого числа $y$, тогда квадратный корень из $x$ равен $y$, и записывается как $\sqrt{x} = y$.

Основные свойства квадратного корня:

1. Положительность: Квадратный корень из неотрицательного числа $x$ всегда является неотрицательным числом: $\sqrt{x} \geq 0$.

2. Определенность: Квадратный корень из неотрицательного числа $x$ определен и единственен.

3. Квадрат: Если $\sqrt{x} = y$, то $y^2 = x$.

4. Обратность возведения в квадрат: Квадратный корень и возведение в квадрат являются взаимообратными операциями. Это означает, что $\sqrt{x^2} = |x|$ для всех действительных чисел $x$.

5. Арифметические операции: Для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ выполняются следующие свойства:

   • $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (Квадратный корень произведения равен произведению квадратных корней).
   • $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (Квадратный корень отношения равен отношению квадратных корней).

6. Квадратный корень из 0: Квадратный корень из 0 равен 0: $\sqrt{0} = 0$.

7. Квадратный корень из отрицательных чисел: В действительных числах отрицательных чисел нет квадратного корня, поскольку ни одно число не может быть возведено в квадрат, чтобы получить отрицательное число вещественных чисел. Вместо этого, в комплексных числах определен квадратный корень из отрицательных чисел.

8. Примеры:

   • $\sqrt{9} = 3$, так как $3^2 = 9$.
   • $\sqrt{25} = 5$, так как $5^2 = 25$.
   • $\sqrt{0} = 0$, так как $0^2 = 0$.

Эти свойства квадратного корня используются во многих областях математики и ежедневной жизни для решения различных задач и уравнений.