Question

Найдите площадь фигуры, ограниченой линиями: y= корень из x+1 y=0 x=3 x=8

Answer 1

$\int\limits^3_8 {\sqrt{x+1} } \, dx = 2(x+1)^{\frac{3}{2} } /2 =18- \frac{16}{3} = 12\frac{2}{3}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, мы должны сначала найти точки пересечения этих линий.

1. Найдем точки пересечения линии y = √(x + 1) и оси x (y = 0): Подставим y = 0 в уравнение y = √(x + 1): 0 = √(x + 1) Теперь возведем обе части уравнения в квадрат: 0 = x + 1 x = -1

2. Найдем точку пересечения линии y = √(x + 1) и вертикальной линии x = 3: Подставим x = 3 в уравнение y = √(x + 1): y = √(3 + 1) y = √4 y = 2

3. Найдем точку пересечения линии y = √(x + 1) и вертикальной линии x = 8: Подставим x = 8 в уравнение y = √(x + 1): y = √(8 + 1) y = √9 y = 3

Теперь у нас есть три точки: A(-1, 0), B(3, 2) и C(8, 3). Мы можем нарисовать треугольник ABC и пространство под ним (так как это график корня из x+1). Затем, для вычисления площади этой фигуры, мы разделим ее на две фигуры: прямоугольник и треугольник.

1. Площадь прямоугольника: Ширина прямоугольника = BC = 8 - 3 = 5 Высота прямоугольника = 3 (потому что y = 3 на всем протяжении линии x = 8) Площадь прямоугольника = Ширина × Высота = 5 × 3 = 15

2. Площадь треугольника ABC: База треугольника = AC = 8 - (-1) = 9 Высота треугольника = 2 (потому что у треугольника точка B совпадает с нижним основанием прямоугольника, где y = 2) Площадь треугольника = (База × Высота) / 2 = (9 × 2) / 2 = 9

Теперь найдем общую площадь фигуры: Общая площадь = Площадь прямоугольника + Площадь треугольника = 15 + 9 = 24

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = √(x + 1), y = 0, x = 3 и x = 8, составляет 24 квадратных единицы.