Question

Иррациональная функция. решить неравенства √1-3x<2 полное решение

Answer 1

$\sqrt{1-3x}$

Ответ : x ∈ (-1 , 1/3]

Answer 2

Для решения неравенства с иррациональной функцией, нужно следовать определенным шагам. Давайте рассмотрим неравенство и постепенно найдем его полное решение.

Исходное неравенство: √(1 - 3x) < 2

Для начала, чтобы избавиться от корня, перенесем все члены неравенства влево, чтобы получить ноль справа: √(1 - 3x) - 2 < 0

Теперь возведем обе стороны неравенства в квадрат. Заметим, что при возведении в квадрат неравенства со знаком "<" сохраняется направление неравенства: (√(1 - 3x) - 2)^2 < 0

Теперь раскроем квадрат на левой стороне: (1 - 3x - 4√(1 - 3x) + 4) < 0

Далее, объединим все элементы с корнем на одну сторону, а все константы на другую: -3x - 4√(1 - 3x) + 5 < 0

Теперь избавимся от корня, перенесем все члены с корнем на другую сторону: -4√(1 - 3x) < 3x - 5

Чтобы избавиться от отрицательного коэффициента у корня, помножим обе стороны на -1 (заметим, что при умножении на отрицательное число неравенство меняет свое направление): 4√(1 - 3x) > 5 - 3x

Теперь возведем обе стороны неравенства в квадрат (заметим, что здесь знак неравенства сохраняется, так как мы умножаем обе стороны на положительное число): (4√(1 - 3x))^2 > (5 - 3x)^2

Упростим обе стороны: 16(1 - 3x) > 9x^2 - 30x + 25

Раскроем скобки: 16 - 48x > 9x^2 - 30x + 25

Теперь приведем всё квадратное уравнение к одной стороне: 9x^2 - 30x + 25 + 48x - 16 < 0

Упростим: 9x^2 + 18x + 9 < 0

Теперь попробуем решить квадратное уравнение: Дискриминант D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 * 9 * 9 = 324 - 324 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у нас имеется один корень: x = -b / 2a = -18 / (2 * 9) = -18 / 18 = -1

Таким образом, имеем единственную точку, разделяющую промежутки. Проведем тестовую точку в каждом промежутке, чтобы определить, в каких интервалах выполняется неравенство.

1. Для x < -1: Пусть x = -2 (тестовая точка) 9*(-2)^2 + 18*(-2) + 9 = 36 - 36 + 9 = 9 (положительное число) Значит, в этом интервале неравенство не выполняется.

2. Для x = -1: Подставим x = -1 в исходное неравенство: √(1 - 3*(-1)) < 2 √(1 + 3) < 2 √4 < 2 2 < 2 Здесь неравенство не выполняется, так как корень из 4 равен 2, а не меньше 2.

3. Для x > -1: Пусть x = 0 (тестовая точка) 90^2 + 180 + 9 = 9 (положительное число) Значит, в этом интервале неравенство также не выполняется.

Итак, решение неравенства √(1 - 3x) < 2: x < -1 и x > -1

Таким образом, полное решение неравенства - это интервал (-∞, -1) объединенный с интервалом (-1, +∞).