Question

Иррациональная функция. Найти область определения функции y=√x^2-3x-4 Полное решение.

Answer 1

$\sqrt{ {x}^{2} - 3x - 4 } \geqslant 0$
найдём корни :
х²-3х-4 = 0.
D = 9-4*1*(-4) = 25. √25 = 5.
x((1) = (3+5)/2 = 4.
x(2) = (3-5)/2 = -1.
теперь нужно найти знаки : где парабола больше или равна 0.

----(+)---(-1)---(-)---(4)--(+)--→х
ответ : D(f): (-oo;-1] U [4;+oo).

Answer 2

По теореме Виета под корнем произведение

(х-4)(х+1)

Функция определена, когда это выражение неотрицательно.

Сомножители должны быть одного знака или любой из них равен 0.

Значит в область опрнделения входят :  x>4  x=4,  x<-1  , x=-1

Answer 3

Для определения области определения функции необходимо найти все значения аргумента (x), при которых функция y = √(x^2 - 3x - 4) определена, то есть, когда выражение под корнем неотрицательно, чтобы избежать извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Выражение под корнем неотрицательно, если его значение не меньше нуля, то есть:

x^2 - 3x - 4 ≥ 0

Для решения неравенства, найдем корни уравнения x^2 - 3x - 4 = 0, и затем определим знак выражения на каждом из интервалов, которые образуются корнями.

1. Найдем корни уравнения x^2 - 3x - 4 = 0: Для этого воспользуемся формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac: a = 1, b = -3, c = -4

D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня: x₁ = (-b + √D) / (2a) = (3 + √25) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4 x₂ = (-b - √D) / (2a) = (3 - √25) / 2 = (3 - 5) / 2 = -1

2. Теперь определим знак выражения на каждом интервале:

• Если x < -1, то оба слагаемых x^2 и -3x будут положительными, тогда x^2 - 3x - 4 > 0
• Если -1 < x < 4, то x^2 положительно, но -3x отрицательно, тогда x^2 - 3x - 4 < 0
• Если x > 4, то оба слагаемых x^2 и -3x будут положительными, тогда x^2 - 3x - 4 > 0

Таким образом, область определения функции y = √(x^2 - 3x - 4) составляет интервал от -∞ до -1 (не включая -1) и интервал от 4 до +∞. В этих интервалах выражение под корнем неотрицательно, и функция определена на всей этой области.