Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=4корня из 4х-5-3 в точке с абсциссой Хо=9/4

Answer 1

Уравнение касательной имеет вид $g = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$

$y = 4\sqrt{4x-5}-3, \quad x_0=\frac{9}{4} \\\\y' = 4*\frac{4}{2\sqrt{4x-5}} = \frac{8}{\sqrt{4x-5}} \\\\y(x_0) = 4*\sqrt{4*\frac{9}{4}-5}-3=4*\sqrt{4}-3=5 \\\\y'(x_0)=\frac{8}{\sqrt{4 * \frac{9}{4}-5}} = \frac{8}{\sqrt{4}}=4 \\\\g = 5 + 4(x-\frac{9}{4})=5+4x-9=4x-4$

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции y = 4√(4x - 5) - 3 в точке с абсциссой x₀ = 9/4, нам нужно определить производную функции и использовать её значение в точке x₀.

1. Найдем производную функции y по x: y = 4√(4x - 5) - 3

Для удобства заменим корень на степень 1/2: y = 4(4x - 5)^(1/2) - 3

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): (dy/dx) = 4 * (1/2) * (4x - 5)^(-1/2) * d(4x - 5)/dx

Теперь найдем производную d(4x - 5)/dx: d(4x - 5)/dx = 4

Теперь можем выразить производную функции y по x: (dy/dx) = 4 * (1/2) * (4x - 5)^(-1/2) * 4 (dy/dx) = 2 * (4x - 5)^(-1/2)

2. Найдем значение производной в точке x₀ = 9/4: dy/dx = 2 * (4(9/4) - 5)^(-1/2) dy/dx = 2 * (9 - 5)^(-1/2) dy/dx = 2 * 4^(-1/2) dy/dx = 2 * (1/2) dy/dx = 1

Таким образом, значение производной в точке x₀ = 9/4 равно 1.

3. Теперь у нас есть значение производной в точке касательной. Поскольку касательная имеет угловой коэффициент равный значению производной, мы можем записать уравнение касательной в точке (x₀, y₀), где y₀ = f(x₀):

Уравнение касательной: y - y₀ = dy/dx * (x - x₀)

Подставим известные значения: y - f(9/4) = 1 * (x - 9/4)

Теперь найдем значение функции f(x₀) в точке x₀ = 9/4: f(9/4) = 4√(4 * 9/4 - 5) - 3 f(9/4) = 4√(9 - 5) - 3 f(9/4) = 4√4 - 3 f(9/4) = 4 * 2 - 3 f(9/4) = 8 - 3 f(9/4) = 5

Теперь у нас есть значения x₀ и y₀: x₀ = 9/4 y₀ = 5

Подставим их в уравнение касательной: y - 5 = 1 * (x - 9/4)

Упростим уравнение: y - 5 = x - 9/4

И окончательно уравнение касательной к графику функции y = 4√(4x - 5) - 3 в точке x₀ = 9/4: y = x + 1/4