Question

При каких значениях c система : |15x+cy=3 |5x+10y=1 имеет бесконечно много решений?

Answer 1

$\frac{15}{5} = \frac{c}{10} \\ c = \frac{15 \times 10}{5} = 30$

Answer 2

Для того чтобы система уравнений имела бесконечно много решений, условиями должны быть выполнены два условия:

1. Уравнения должны быть линейно зависимыми, то есть одно уравнение должно быть линейной комбинацией другого.
2. Эти уравнения должны иметь бесконечно много общих решений.

Для данной системы уравнений:

1. |15x + cy = 3| |5x + 10y = 1|

Для того чтобы уравнения были линейно зависимыми, можно заметить, что умножив первое уравнение на 2, получим:

2(15x + cy) = 2(3) 30x + 2cy = 6

Это уравнение является тем же самым, что и умноженное на 2 первое уравнение. Таким образом, уравнения линейно зависимы.

2. Теперь, чтобы определить условия, при которых система имеет бесконечно много решений, нужно рассмотреть общие решения системы. Поскольку у нас всего два уравнения с двумя неизвестными, можно найти их решение.

Из второго уравнения: 5x + 10y = 1

Делим оба члена на 5: x + 2y = 0 x = -2y

Теперь, заменяем x в первом уравнении: 15(-2y) + cy = 3 -30y + cy = 3

Теперь хотим, чтобы у нас было бесконечно много решений. Это будет выполнено, если уравнение -30y + cy = 3 имеет бесконечно много решений.

Очевидно, что коэффициенты y (-30 и c) могут иметь бесконечно много комбинаций, чтобы равенство выполнилось.

Таким образом, система будет иметь бесконечно много решений при любых значениях c, кроме случая, когда c = 0. Если c = 0, то уравнение примет вид -30y = 3, что приведет к конкретному значению y и, следовательно, единственному решению для системы.