Question

Найти точки экстремума функцииY=x²e²

Answer 1

x=0.

y'=2e^2×x (здесь e^2 - число е в квадрате)

y'=0 => x=0

Answer 2

Для того чтобы найти точки экстремума функции Y = x²e², нужно сначала найти производную функции и приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки. Затем, используя вторую производную, определить характер экстремума (минимум или максимум) в каждой критической точке.

1. Найдем производную функции Y по x: Y = x²e² Y' = d/dx (x²e²) = 2xe² + x²(2e²) = 2xe² + 2x²e² = 2e²(x + x²)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: 2e²(x + x²) = 0

Это уравнение имеет два решения: a) 2e²x + 2e²x² = 0 b) x(2e² + 2ex) = 0

a) 2e²x(1 + x) = 0 Два возможных решения:

1. 2e²x = 0 => x = 0 (одно решение)
2. 1 + x = 0 => x = -1 (второе решение)

b) x(2e² + 2x) = 0 Два возможных решения:

1. x = 0 (одно решение)
2. 2e² + 2x = 0 2x = -2e² x = -e² (второе решение)

3. Определим характер экстремума в каждой критической точке, используя вторую производную.

Вычислим вторую производную: Y'' = d²/dx² (x²e²) = d/dx (2xe² + 2x²e²) = 2e² + 4xe²

Теперь подставим значения x для каждой критической точки:

a) x = 0 Y''(0) = 2e² + 4 * 0 * e² = 2e² > 0 Вторая производная положительна, что указывает на минимум.

b) x = -1 Y''(-1) = 2e² + 4 * (-1) * e² = 2e² - 4e² = -2e² < 0 Вторая производная отрицательна, что указывает на максимум.

c) x = -e² Y''(-e²) = 2e² + 4 * (-e²) * e² = 2e² - 4e² = -2e² < 0 Вторая производная отрицательна, что указывает на максимум.

Таким образом, у функции Y = x²e² есть две точки экстремума:

• Минимум при x = 0
• Максимум при x = -1 и x = -e²