Question

площадь прямоугольного треугольника одна из сторон которого на 3 см больше другой, равна 54 см^2. Найдите стороны периметра треугольника. Задача через дискриминант и уравнение

Answer 1

Пусть один из катетов - х.    ⇒

S=x*(x+3)/2=54

x²+3x=108

x²+3x-108=0       D=441      √D=21

x₁=9         x₂=-12 ∉      ⇒

Второй катет = 9+3=12

Гипотенуза = √(9²+12²)=√(81+144)=√225=15.

Ответ: 9 см, 12 см, 15 см.

Answer 2

Пусть одна из сторон прямоугольного треугольника равна x см, тогда другая сторона будет (x + 3) см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то есть:

Площадь = (1/2) * x * (x + 3) = 54 см^2

Для решения уравнения через дискриминант, приведем его к стандартному квадратному уравнению вида ax^2 + bx + c = 0:

(1/2) * x^2 + (3/2) * x - 54 = 0

Теперь, найдем дискриминант (D) этого уравнения:

D = b^2 - 4ac D = (3/2)^2 - 4 * (1/2) * (-54) D = 9/4 + 108 D = 9/4 + 432/4 D = (9 + 432) / 4 D = 441 / 4

Так как дискриминант D положителен, у уравнения есть два вещественных корня.

Теперь найдем корни уравнения (x1 и x2) с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

x1 = (-b + √D) / 2a x1 = (-(3/2) + √(441/4)) / (2 * (1/2)) x1 = (-3/2 + 21/2) / 1 x1 = (18/2) / 1 x1 = 9

x2 = (-b - √D) / 2a x2 = (-(3/2) - √(441/4)) / (2 * (1/2)) x2 = (-3/2 - 21/2) / 1 x2 = (-24/2) / 1 x2 = -12

Таким образом, получаем два корня: x1 = 9 и x2 = -12.

Однако, сторона треугольника не может быть отрицательной, поэтому x2 = -12 не подходит.

Таким образом, стороны треугольника равны x1 = 9 см и x1 + 3 = 12 см.

Периметр треугольника равен сумме всех сторон:

Периметр = x1 + (x1 + 3) + гипотенуза Периметр = 9 + 12 + гипотенуза

Однако, гипотенуза прямоугольного треугольника может быть найдена по теореме Пифагора:

гипотенуза^2 = катет1^2 + катет2^2 гипотенуза^2 = 9^2 + 12^2 гипотенуза^2 = 81 + 144 гипотенуза^2 = 225 гипотенуза = √225 гипотенуза = 15

Теперь подставим значение гипотенузы в формулу для периметра:

Периметр = 9 + 12 + 15 Периметр = 36

Таким образом, стороны треугольника равны 9 см, 12 см и гипотенуза (противоположная прямому углу) равна 15 см, а периметр треугольника равен 36 см.