Question

Решите пожалуйста2cos4acosa-cos3a

Answer 1

=2cos4acosa-cos(4a-a)=

2cos4acosa-cos4acosa-sin4asina=

cos4acosa-sin4asina=cos(4a+a)=cos5a

Answer 2

Для решения выражения 2cos(4a)cos(a) - cos(3a), воспользуемся формулами тригонометрии.

1. Формула двойного угла: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

2. Формула сложения/вычитания: cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)

Используем эти формулы:

2cos(4a)cos(a) - cos(3a)

Перепишем cos(3a) в виде cos(2a + a):

cos(3a) = cos(2a + a) = cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a)

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

2cos(4a)cos(a) - (cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a))

Раскроем скобки и преобразуем:

2cos(4a)cos(a) - cos(2a)cos(a) + sin(2a)sin(a)

Теперь воспользуемся формулой двойного угла cos(2x) = 2cos^2(x) - 1:

2(2cos^2(2a) - 1)cos(a) - cos(2a)cos(a) + sin(2a)sin(a)

Умножим 2cos^2(2a) на 2:

4cos^2(2a)cos(a) - 2cos(a) - cos(2a)cos(a) + sin(2a)sin(a)

Теперь воспользуемся снова формулой двойного угла cos(2x) = 2cos^2(x) - 1:

4(2cos^2(a) - 1)cos(a) - 2cos(a) - cos(2a)cos(a) + sin(2a)sin(a)

Умножим 4(2cos^2(a) - 1) на cos(a):

8cos^3(a) - 4cos(a) - cos(2a)cos(a) + sin(2a)sin(a)

Теперь, чтобы дальше упростить, можно вспомнить формулу sin(2x) = 2sin(x)cos(x):

8cos^3(a) - 4cos(a) - cos(2a)cos(a) + 2sin(a)cos(a)

Теперь вынесем общий множитель из первых трех членов:

4cos(a)(2cos^2(a) - 1) - cos(2a)cos(a) + 2sin(a)cos(a)

Сгруппируем члены с cos(a):

4cos(a)(2cos^2(a) - 1 - cos(2a)) + 2sin(a)cos(a)

Теперь заметим, что у нас есть разность квадратов внутри скобки:

4cos(a)(2cos(a) - 1)(cos(a) + 1) + 2sin(a)cos(a)

Дальше можем упростить еще немного, объединив константы:

4cos(a)(2cos(a) - 1)(cos(a) + 1) + 2sin(a)cos(a) = 4cos(a)(2cos(a)^2 - 1) + 2sin(a)cos(a) = 4cos(a)(2cos^2(a) - 1) + 2sin(a)cos(a) = 8cos^3(a) - 4cos(a) + 2sin(a)cos(a)

Теперь можно попробовать выразить sin(a)cos(a) через sin(2a):

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Отсюда:

sin(a)cos(a) = sin(2a)/2

Подставим этот результат в выражение:

8cos^3(a) - 4cos(a) + sin(2a)/2

Таким образом, окончательный ответ:

8cos^3(a) - 4cos(a) + sin(2a)/2