Question

Найдите точки экстремума функции и значения функции в точках экстремума у=х^4-2х^2

Answer 1

y = x⁴ - 2x²

Чтобы найти экстремумы, для начала нам нужно найти производную, а потом приравнять её к нулю, решив уравнение:

y' = (x⁴ - 2x²)' = (x⁴)' - (2x²)' = 4 · x⁴⁻¹ - 2 · 2 · x²⁻¹ = 4x³ - 4x

y' = 0, тогда:

4x³ - 4x = 0

4x · (x² - 1) = 0 в том случае, когда:

1. 4x = 0

x = 0

2. x² - 1 = 0

x² = 1

x = ± 1

Проведём числовую прямую и по методу интервалов определим, на каких промежутках значение функции положительно, а где отрицательно:

(смотри рисунок)

Чтобы определить знак функции на определённом промежутке, нужно подставить какое-то значение из этого промежутка в производную.

Точки экстремума - это точки максимума и минимума. Точка максимума - это точка, до которой график функции возрастал, а после этой точки убывал. Точка минимум - наоборот. На нашей числовой прямой таких экстремумов 3:

1. x₁ = -1 (минимум)
2. x₂ = 0 (максимум)
3. x₃ = 1 (минимум)

Найдём значение функции в этих точках:

• y(x₁) = x₁⁴ - 2x₁² = 1 - 2 = -1
• y(x₂) = x₂⁴ - 2x₂² = 0
• y(x₃) = x₃⁴ - 2x₃² = 1 - 2 = -1

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции у = х^4 - 2х^2, необходимо найти её производную и приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки. Затем мы можем использовать вторую производную, чтобы определить, является ли критическая точка точкой минимума, максимума или разрывом функции.

1. Найдем производную функции у = х^4 - 2х^2:

у' = d/dx (х^4 - 2х^2) у' = 4х^3 - 4х

2. Найдем критические точки, приравняв у' к нулю:

4х^3 - 4х = 0

4х(x^2 - 1) = 0

Таким образом, у нас две критические точки: x = 0 и x = ±1.

3. Теперь найдем значения функции у в каждой из критических точек:

a) Для x = 0:

у(0) = 0^4 - 2 * 0^2 = 0

b) Для x = 1:

у(1) = 1^4 - 2 * 1^2 = 1 - 2 = -1

c) Для x = -1:

у(-1) = (-1)^4 - 2 * (-1)^2 = 1 - 2 = -1

4. Чтобы определить тип каждой критической точки (минимум, максимум или разрыв функции), вычислим вторую производную:

у'' = d^2/dx^2 (х^4 - 2х^2) у'' = 12х^2 - 4

5. Подставим значения x = 0, x = 1 и x = -1 в у'' и проанализируем результаты:

a) Для x = 0:

у''(0) = 12 * 0^2 - 4 = -4

Так как у''(0) < 0, то в точке x = 0 функция имеет локальный максимум.

b) Для x = 1:

у''(1) = 12 * 1^2 - 4 = 8

Так как у''(1) > 0, то в точке x = 1 функция имеет локальный минимум.

c) Для x = -1:

у''(-1) = 12 * (-1)^2 - 4 = 8

Так как у''(-1) > 0, то в точке x = -1 функция имеет локальный минимум.

Таким образом, у = х^4 - 2х^2 имеет две точки экстремума: локальный максимум в точке (0, 0) и два локальных минимума в точках (1, -1) и (-1, -1).