Question

Чому дорівнює сума перших дев'яти членів арифметичної прогресії якщо а1+а4+а10=18

Answer 1

$a_1+a_4+a_{10}=18\\a_1+a_2+3r+a_1+9r=18\\3a_1+12r=18\ /:3\\a_1+4r=6\\\\S_9=a_1+a_1+r+a_1+2r+...+a_1+8r=9a_1+36r=9(a_{1}+4r)=9\cdot6=54$

Answer 2

Давайте позначимо перший член арифметичної прогресії як а1, а різницю між сусідніми членами як d.

Тоді загальний вираз для членів арифметичної прогресії буде:

а1, а1 + d, а1 + 2d, а1 + 3d, ...

Також умова задачі нам дає:

а1 + а4 + а10 = 18

Замінимо ці члени виразами з арифметичної прогресії:

(а1) + (а1 + 3d) + (а1 + 9d) = 18

Тепер, складемо всі члени разом:

3а1 + 12d = 18

Тепер ми повинні знайти суму перших дев'яти членів арифметичної прогресії (S9). Загальний вираз для суми перших n членів арифметичної прогресії є:

S_n = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)

Для n = 9:

S9 = (9/2) * (2a1 + (9-1)d) = 4.5 * (2a1 + 8d)

Ми знаємо, що 3а1 + 12d = 18, тому можемо виразити a1 через d:

3а1 = 18 - 12d а1 = (18 - 12d)/3 а1 = 6 - 4d

Тепер можемо замінити a1 у виразі для S9:

S9 = 4.5 * [2(6-4d) + 8d] S9 = 4.5 * [12 - 8d + 8d] S9 = 4.5 * 12

S9 = 54

Таким чином, сума перших дев'яти членів арифметичної прогресії дорівнює 54.