Question

Помогите пожалуйста! Исследовать функцию у=х+16/х По плану: 1 одз 2 четность, нечетность, периодичность 3точки пересечения с осями координат 4 монотонность , экстремумы 5 выпуклость, вогнутость точки перегиба 6 асимптоты 7 график функции

Answer 1

Tttttttttttttttttttt

Answer 2

Хорошо, давайте пошагово исследуем функцию у = (х + 16) / х и найдем все запрошенные характеристики:

1. ОДЗ (Область Допустимых Значений): Чтобы определить область допустимых значений, нужно исключить значения x, при которых знаменатель равен нулю (так как деление на ноль не определено). Знаменатель х не может быть равен нулю, поэтому ОДЗ: x ≠ 0.

2. Четность и нечетность: Функция у = (х + 16) / х содержит обе переменные х и 16, а также операции сложения и деления. Ни одна из этих операций не сохраняет четность или нечетность. Поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Периодичность: Функция у = (х + 16) / х не является периодической, так как нет такого постоянного значения T, для которого выполняется у(x) = у(x + T) для всех значений x.

4. Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осями координат, приравняем y к нулю и решим уравнение: 0 = (х + 16) / х

   Умножим обе стороны на х, чтобы избавиться от знаменателя: 0 = х + 16

   Переносим 16 на другую сторону уравнения: х = -16

   Таким образом, функция пересекает ось x в точке (-16, 0). Нет пересечений с осью y, так как нет свободного слагаемого (константы).

5. Монотонность и экстремумы: Для анализа монотонности и экстремумов, найдем производную функции:

   у' = d(х + 16) / dх - производная

   Упростим производную: у' = (1 * х - (х + 16) * 1) / х^2 у' = (х - х - 16) / х^2 у' = -16 / х^2

   Для определения монотонности:

   • Если у' > 0, функция возрастает.
   • Если у' < 0, функция убывает.

   Так как у' всегда отрицательно (кроме х = 0, что не входит в ОДЗ), функция убывает на всей области определения.

   Экстремумы: Так как функция убывает на всем своем ОДЗ, нет экстремумов.

6. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба: Чтобы найти точки перегиба и определить выпуклость/вогнутость функции, найдем вторую производную:

   у'' = d(-16 / х^2) / dх - вторая производная

   Упростим у'': у'' = 32 / х^3

   Для определения выпуклости/вогнутости:

   • Если у'' > 0, функция выпукла вверх.
   • Если у'' < 0, функция вогнута вверх.

   Так как у'' всегда положительно (кроме х = 0, что не входит в ОДЗ), функция выпукла вверх на всем своем ОДЗ.

   Чтобы найти точки перегиба, приравняем у'' к нулю и решим уравнение: 32 / х^3 = 0

   Умножим обе стороны на х^3, чтобы избавиться от знаменателя: 32 = 0

   Такого значения х нет в ОДЗ, значит, у функции нет точек перегиба.

7. Асимптоты: Функция имеет вертикальную асимптоту в точке х = 0, так как это значение не входит в ее ОДЗ.

   Теперь рассмотрим горизонтальную асимптоту при x → ±∞. Когда х стремится к бесконечности, х + 16 / х ≈ х / х = 1. Таким образом, у = х + 16 / х имеет горизонтальную асимптоту у = 1 при x → ±∞.

8. График функции: Вот график функции y = (x + 16) / x:

   

   Здесь видно, что функция убывает на всем своем ОДЗ, имеет вертикальную асимптоту в точке х = 0 и горизонтальную асимптоту у = 1 при x → ±∞.