Question

Найти корни уравнения sin2x+cosx+0.5+sinx=0, принадлежащие промежутку [0;2pi] .

Answer 1

$sin(2x)+cos(x)+\frac{1}{2}+sin(x)=0$ ,

$2cos(x)*(sin(x)+\frac{1}{2})+\frac{1}{2} +sin(x)=0$ ,

$(\frac{1}{2}+sin(x))*(2cos(x)+1)=0$ ,

$1. sin(x)=-\frac{1}{2}$ ,

$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi*n$, n ∈ Z

$x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi*k$, k ∈ Z

$2.cos(x)=-\frac{1}{2}$ ,

$x=$±$\frac{2\pi}{3}+2\pi*m$, m ∈ Z

Значит корни, принадлежащие указанному интервалу, такие :

$\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3},\frac{11\pi}{6}$

Answer 2

Для нахождения корней уравнения sin(2x) + cos(x) + 0.5 + sin(x) = 0 на промежутке [0, 2π], мы будем использовать алгебраические и тригонометрические свойства, чтобы привести уравнение к более удобному виду.

1. Приведем уравнение к более простому виду: sin(2x) + cos(x) + 0.5 + sin(x) = 0

Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), поэтому: 2sin(x)cos(x) + cos(x) + 0.5 + sin(x) = 0

2. Объединим члены, содержащие sin(x) и cos(x): 2sin(x)cos(x) + sin(x) + cos(x) + 0.5 = 0

3. Заметим, что левая часть уравнения является произведением двух выражений: sin(x) и cos(x). Также, мы можем заметить, что уравнение может быть решено путем факторизации.

4. Преобразуем уравнение: cos(x)(2sin(x) + 1) + sin(x) + 0.5 = 0

5. Теперь можем выразить cos(x) через sin(x) с помощью тригонометрической тождества: cos^2(x) + sin^2(x) = 1 cos^2(x) = 1 - sin^2(x) cos(x) = ±√(1 - sin^2(x))

6. Подставим выражение для cos(x) в уравнение: (±√(1 - sin^2(x)))(2sin(x) + 1) + sin(x) + 0.5 = 0

7. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его:

±√(1 - sin^2(x))(2sin(x) + 1) + sin(x) + 0.5 = 0

Для удобства заменим ± на два уравнения:

1. √(1 - sin^2(x))(2sin(x) + 1) + sin(x) + 0.5 = 0
2. -√(1 - sin^2(x))(2sin(x) + 1) + sin(x) + 0.5 = 0

Решим первое уравнение: √(1 - sin^2(x))(2sin(x) + 1) + sin(x) + 0.5 = 0

2sin(x)√(1 - sin^2(x)) + √(1 - sin^2(x)) + sin(x) + 0.5 = 0

Факторизуем: √(1 - sin^2(x))(2sin(x) + 1 + 1) + 0.5 = 0

√(1 - sin^2(x))(2sin(x) + 2) + 0.5 = 0

√(1 - sin^2(x))(2(sin(x) + 1)) + 0.5 = 0

Теперь два возможных варианта:

1. √(1 - sin^2(x)) = 0 1 - sin^2(x) = 0 sin^2(x) = 1 sin(x) = ±1

На промежутке [0, 2π] это даст нам два значения: sin(x) = 1 при x = π/2 и sin(x) = -1 при x = 3π/2.

2. 2(sin(x) + 1) = 0 sin(x) + 1 = 0 sin(x) = -1

На промежутке [0, 2π] это даст нам еще одно значение: sin(x) = -1 при x = 3π/2.

Таким образом, уравнение sin(2x) + cos(x) + 0.5 + sin(x) = 0 имеет три корня на промежутке [0, 2π]: x = π/2, x = 3π/2 и x = 3π/2.