Question

Вычислите предел последовательности при n>∞ А) xn = 7/n+8/√n + 9/n^3 Б) xn = (5n+3)/(n+1)В) xn = 1/2∙5^(- n)Г) xn = (1+2n+n^2)/n^2 

Answer 1

А) Хn=0
б) Xn=(5+3/n)(1+1/n)=5/1=5
в) если 1/(2*5^(-n) )
то Xn= (5^n)/2=+бесконечность
если 1/(2)*5^(-n) то
Xn=1/(2*5^n )=0
г)Xn=(1/n^2+2/n+1)/1= 1/n^2+2/n+1=1

Answer 2

Давайте вычислим пределы данных последовательностей при n → ∞:

А) xn = 7/n + 8/√n + 9/n^3

Чтобы найти предел этой последовательности, разделим каждое слагаемое на n:

lim(n → ∞) 7/n + 8/√n + 9/n^3 = lim(n → ∞) 7/n + lim(n → ∞) 8/√n + lim(n → ∞) 9/n^3

Поскольку n → ∞, то каждое слагаемое справа стремится к нулю. Таким образом, предел данной последовательности равен:

lim(n → ∞) xn = 0

Б) xn = (5n + 3)/(n + 1)

Чтобы найти предел этой последовательности, разделим числитель и знаменатель на n:

lim(n → ∞) (5n + 3)/(n + 1) = lim(n → ∞) (5 + 3/n)/(1 + 1/n)

Поскольку n → ∞, то 1/n стремится к нулю, а следовательно, (3/n) и (1/n) также стремятся к нулю. Таким образом, предел данной последовательности равен:

lim(n → ∞) xn = 5/1 = 5

В) xn = 1/2∙5^(-n)

Чтобы найти предел этой последовательности, заметим, что 5^(-n) стремится к нулю при n → ∞, так как основание меньше 1. Таким образом, предел данной последовательности равен:

lim(n → ∞) xn = 1/(2∙5^(-n)) = 1/0 (что неопределено)

Здесь предел не существует, так как 1/0 является неопределенностью.

Г) xn = (1 + 2n + n^2)/n^2

Чтобы найти предел этой последовательности, разделим числитель и знаменатель на n^2:

lim(n → ∞) (1 + 2n + n^2)/n^2 = lim(n → ∞) (1/n^2 + 2/n + 1)

Поскольку n → ∞, то 1/n^2 и 2/n стремятся к нулю. Таким образом, предел данной последовательности равен:

lim(n → ∞) xn = 1 + 0 + 1 = 2

Итак, суммируя результаты:

А) lim(n → ∞) xn = 0 Б) lim(n → ∞) xn = 5 В) Предел не существует Г) lim(n → ∞) xn = 2