Question

Докожите что выражениеx²-8x+18 принимает положительные значения при всех значентях x ​

Answer 1

  x²-8x+18=

=  x²-8x+16 + 2 =

= (x²-2·4·x+4²) + 2 =  

= (х-4)² + 2

В полученной сумме:

первое слагаемое  (х-4)²≥0   при всех значениях x, потому что является квадратом;

второе слагаемое  2 - положительное число,

значит, вся сумма ((х-4)²+2) принимает положительные значения при всех значениях x.

Доказано.

Answer 2

Для доказательства, что выражение $x^2 - 8x + 18$ принимает положительные значения при всех значениях $x$, мы должны показать, что данное квадратное выражение не имеет корней или что его дискриминант $D$ меньше нуля.

Квадратное выражение $ax^2 + bx + c$ имеет дискриминант $D$, который вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если $D < 0$, тогда у квадратного уравнения нет действительных корней, и оно принимает один и тот же знак для всех значений $x$.

Теперь, применим это к нашему выражению $x^2 - 8x + 18$:

$a = 1$, $b = -8$, $c = 18$.

Дискриминант $D$ будет равен:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 64 - 72 = -8.$

Так как дискриминант $D$ меньше нуля ($D < 0$), уравнение $x^2 - 8x + 18$ не имеет действительных корней и принимает положительные значения для всех значений $x$.

Таким образом, выражение $x^2 - 8x + 18$ принимает положительные значения при всех значениях $x$.