Question

Даны векторы a = (4;-2;-4) и b = (6;-3;2). Найти угол между векторами и вектор c=a+2b

Answer 1

Решение на фото ниже:

Answer 2

Чтобы найти угол между векторами a и b, можно воспользоваться следующей формулой для скалярного произведения векторов:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta),$

где $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ - скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ - длины векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, а $\theta$ - угол между векторами.

1. Вычислим скалярное произведение векторов a и b:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 4 \cdot 6 + (-2) \cdot (-3) + (-4) \cdot 2 = 24 + 6 - 8 = 22.$

2. Вычислим длины векторов a и b:

$|\mathbf{a}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6,$

$|\mathbf{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7.$

3. Теперь найдем угол $\theta$ между векторами a и b:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} = \frac{22}{6 \cdot 7} = \frac{22}{42} = \frac{11}{21}.$

$\theta = \arccos\left(\frac{11}{21}\right) \approx 53.13^\circ.$

Таким образом, угол между векторами a и b составляет приблизительно 53.13 градусов.

Теперь найдем вектор c, который равен $\mathbf{c} = \mathbf{a} + 2\mathbf{b}$:

$\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 6 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ -4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ -8 \\ 0 \end{bmatrix}.$