Question

Составить уравнение касательной к графику функции f(x)=4x^3-4 в точке с абсциссой x0=2

Answer 1

f(2)=4*8-4=28

f`(x)=12x^2; f`(2)=12*4=48

g(x)=f(2)+f`(2)(x-2)-уравнение касательной

g(x)=28+48(x-2)=48x-68

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x0, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции f(x) в точке x0.
2. Найти значение производной функции f(x) в точке x0. Это значение будет равно угловому коэффициенту (наклону) касательной.
3. Использовать полученные значения для составления уравнения касательной в виде y = mx + b, где m - угловой коэффициент, а b - значение функции в точке x0 минус произведение углового коэффициента на саму точку x0.

Шаг 1: Найдем значение функции f(x) в точке x0=2: f(2) = 4 * (2)^3 - 4 f(2) = 4 * 8 - 4 f(2) = 32 - 4 f(2) = 28

Шаг 2: Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (4x^3 - 4)

Для нахождения производной используем правило степенной функции и константы: f'(x) = 3 * 4x^(3-1) - 0 f'(x) = 12x^2

Теперь найдем значение производной в точке x0=2: f'(2) = 12 * (2)^2 f'(2) = 12 * 4 f'(2) = 48

Шаг 3: Составим уравнение касательной в точке (2, 28) с угловым коэффициентом m = 48: y = mx + b

Теперь найдем значение b, подставив известные значения (x0, f(x0)) в уравнение: 28 = 48 * 2 + b 28 = 96 + b

Теперь решим уравнение относительно b: b = 28 - 96 b = -68

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = 4x^3 - 4 в точке x0=2 имеет вид: y = 48x - 68