Question

Известно, что sin a + cos a = 1/2. Найти: 1) sin a * cos a 2) sin^3 a + cos^3 a

Answer 1

на фото................

Answer 2

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами для решения данных уравнений.

1. Найдем значение выражения sin a * cos a:

Умножим обе части уравнения sin a + cos a = 1/2 на 2:

2 * (sin a + cos a) = 2 * (1/2)

Теперь преобразуем левую часть уравнения, используя тригонометрическое тождество sin(α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β:

2 * (sin a + cos a) = 2 * sin(π/4)

Так как sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2, то:

2 * (sin a + cos a) = 2 * 1/√2

Упростим выражение:

2 * (sin a + cos a) = √2

Теперь разделим обе части на 2:

sin a + cos a = √2 / 2

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством sin(α - β) = sin α * cos β - cos α * sin β:

sin a * cos a = sin(a + (-a)) = sin(0) = 0

Ответ: sin a * cos a = 0.

2. Найдем значение выражения sin^3 a + cos^3 a:

Мы уже знаем, что sin a + cos a = √2 / 2. Возведем обе части этого уравнения в куб:

(sin a + cos a)^3 = (√2 / 2)^3

Применим тригонометрическую формулу для куба суммы:

sin^3 a + cos^3 a + 3 * sin a * cos a * (sin a + cos a) = (√2 / 2)^3

Мы уже вычислили sin a * cos a как равное 0, а (sin a + cos a) = √2 / 2, таким образом:

sin^3 a + cos^3 a + 3 * 0 * (√2 / 2) = (√2 / 2)^3

sin^3 a + cos^3 a = (√2 / 2)^3

sin^3 a + cos^3 a = (√2)^3 / (2^3)

sin^3 a + cos^3 a = 2√2 / 8

sin^3 a + cos^3 a = √2 / 4

Ответ: sin^3 a + cos^3 a = √2 / 4.