Question

Докажите, что значение выражения 8^5-2^11 делится на 17

Answer 1

8⁵-2¹¹=8*64²-2*32²≡8*13²-2*15²(mod 17)=2*26²-2*225≡2*9²-2*4(mod 17)=18*9-8≡9-8(mod 17)=1

То есть 8⁵-2¹¹ даёт остаток 1 при делении на 17, а значит не делится нацело на 17. Условие неверно.

--------------

В решении использованы свойства сравнения чисел по модулю

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $8^5 - 2^{11}$ делится на 17, мы можем воспользоваться свойствами арифметики и модульной арифметики.

Первым шагом давайте вычислим значение выражения:

$8^5 - 2^{11} = 32768 - 2048 = 30720$.

Теперь нам нужно показать, что 30720 делится на 17. Для этого мы можем воспользоваться определением делимости.

Число $a$ делится на $b$, если существует такое целое число $k$, что $a = k \cdot b$.

Таким образом, чтобы доказать, что 30720 делится на 17, нам нужно найти такое целое число $k$, чтобы $30720 = 17 \cdot k$.

Для нахождения $k$ давайте разделим 30720 на 17:

$k = \frac{30720}{17} ≈ 1807.0588235294$.

Заметим, что $k$ не является целым числом, что мешает нам окончательно доказать делимость 30720 на 17.

Однако здесь важно отметить, что мы работаем с десятичными числами, которые могут быть приближенными. Возможно, что мы ошиблись в округлении.

Давайте попробуем выполнить точные вычисления с помощью модульной арифметики.

Модульное деление $a \mod b$ возвращает остаток от деления $a$ на $b$.

Теперь, чтобы доказать делимость 30720 на 17, мы можем проверить, что $30720 \mod 17 = 0$:

$30720 \mod 17 = 14$.

Ой, здесь мы получаем остаток 14, а не 0. Это означает, что 30720 не делится на 17, и изначальное утверждение неверно.

Таким образом, мы не можем доказать, что значение выражения $8^5 - 2^{11}$ делится на 17.