Question

2y*sin 1/x^2+x^3*y=0 загальна форма розв'язку, диференційні рівняння

Answer 1

(2y·sin(1/x²))`+(x³·y)`=0

(2y)`·sin(1/x²) + 2y·(sin(1/x²))`+(x³)`·y+x³·y`=0

2y`·sin(1/x²) + 2y·cos(1/x²)·(1/x²)`+3x²·y+x³·y`=0

2y`·sin(1/x²) + 2y·cos(1/x²)·(-2x⁻³)+3x²·y+x³·y`=0

y`=((4y/x³)·cos(1/x²)-3x²y)/(2sin(1/x²)+x³)

Answer 2

Щоб знайти загальний розв'язок диференціального рівняння $2y \cdot \sin\left(\frac{1}{x^2} + x^3y\right) = 0$, спочатку треба знайти часткові похідні і записати диференціальне рівняння у явній формі.

1. Знайдемо часткові похідні: Диференціюючи дане рівняння за змінної x, отримуємо: $\frac{d}{dx}(2y\sin(1/x^2 + x^3y)) = 0.$

Використовуючи правило ланцюжків, отримуємо: $2y \cdot \frac{d}{dx}(\sin(1/x^2 + x^3y)) = 0.$

Застосовуємо диференціювання композиції функцій: $2y \cdot \left(\cos(1/x^2 + x^3y) \cdot \frac{d}{dx}(1/x^2 + x^3y)\right) = 0.$

Тепер знайдемо похідну $\frac{d}{dx}(1/x^2 + x^3y)$: $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2} + x^3y\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) + \frac{d}{dx}(x^3y).$

Застосовуємо правило диференціювання степеневої функції та диференціювання добутку: $\frac{-2}{x^3} + 3x^2y + x^3\frac{dy}{dx} = 0.$

Тепер диференційоване рівняння виглядає так: $2y \cdot \left(\cos(1/x^2 + x^3y) \cdot \left(\frac{-2}{x^3} + 3x^2y + x^3\frac{dy}{dx}\right)\right) = 0.$

2. Запишемо диференційне рівняння у явній формі: Розділимо обидві сторони на $2y$: $\cos\left(\frac{1}{x^2} + x^3y\right) \cdot \left(\frac{-2}{x^3} + 3x^2y + x^3\frac{dy}{dx}\right) = 0.$

Тепер можемо вирішити рівняння відносно $\frac{dy}{dx}$: $\frac{-2}{x^3} + 3x^2y + x^3\frac{dy}{dx} = 0.$

$x^3\frac{dy}{dx} = 2 - 3x^2y.$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2 - 3x^2y}{x^3}.$

3. Загальний розв'язок диференціального рівняння: Запишемо рівняння у вигляді $\frac{dy}{dx} = \frac{2 - 3x^2y}{x^3}$