Question

методом подведения под знак дифференциала.

Answer 1

$\displaystyle \int\limits {e^{2x}}\,dx =\frac{1}2\int\limits {e^{2x}}\,d(2x)=\boxed{\frac{1}2e^{2x}}$

Answer 2

Метод подведения под знак дифференциала, также известный как "метод замены переменной", является одним из методов интегрирования. Этот метод используется для упрощения или преобразования интеграла путем замены переменной в дифференциале.

Основная идея метода заключается в том, чтобы заменить исходную переменную в интеграле на новую переменную, которая облегчит интегрирование. Обозначим исходную переменную как x и заменим ее на новую переменную u с помощью некоторого уравнения связи: u = f(x), где f(x) - непрерывная и дифференцируемая функция. Затем заменяем дифференциал dx на дифференциал новой переменной du, используя уравнение связи и дифференцирование:

dx = du / f'(x).

После замены переменных, интеграл принимает новый вид:

∫F(x) dx = ∫F(f(u)) * du / f'(u),

где F(x) - подынтегральная функция, f(u) - функция замены переменной, f'(u) - производная функции замены переменной по u.

Иногда подынтегральное выражение может быть упрощено или преобразовано в более удобную форму после замены переменной, что делает интегрирование проще.

Пример: Рассмотрим интеграл ∫2x dx.

Мы можем заменить переменную x на u, где u = 2x. Тогда дифференциал dx заменится на du = 2dx. Решим уравнение относительно dx: dx = du/2.

Теперь интеграл примет вид ∫2x dx = ∫u * (du/2) = (1/2) ∫u du = (1/2) * u^2 + C, где C - константа интегрирования.

Итак, мы нашли интеграл исходной функции, используя метод подведения под знак дифференциала.