Question

Решить интеграл используя метод подведения под знак дифференциала ∫((2х)/(х²-7))dx

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Для решения данного интеграла используем метод подведения под знак дифференциала. Интеграл имеет вид:

\[ \int \frac{2x}{x^2 - 7} \,dx \]

Для начала разложим знаменатель на множители:

\[ x^2 - 7 = (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7}) \]

Теперь представим числитель интегранда в виде суммы двух членов, умноженных на соответствующие коэффициенты:

\[ \frac{2x}{x^2 - 7} = \frac{A}{x - \sqrt{7}} + \frac{B}{x + \sqrt{7}} \]

Умножим обе стороны на знаменатель \(x^2 - 7\), чтобы избавиться от дробей:

\[ 2x = A(x + \sqrt{7}) + B(x - \sqrt{7}) \]

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной \(x\):

1. Для \(x\) коэффициенты: \(A + B = 2\) 2. Для \(\sqrt{7}\) коэффициенты: \(A\sqrt{7} - B\sqrt{7} = 0\)

Решая эту систему уравнений, найдем значения \(A\) и \(B\). Умножим второе уравнение на \(\frac{1}{\sqrt{7}}\), чтобы избавиться от корня:

\[ A - B = 0 \]

Теперь сложим это уравнение с первым:

\[ 2A = 2 \]

Отсюда получаем, что \(A = 1\), и, следовательно, \(B = 1\).

Теперь подставим найденные значения обратно в интеграл:

\[ \int \frac{2x}{x^2 - 7} \,dx = \int \frac{1}{x - \sqrt{7}} + \frac{1}{x + \sqrt{7}} \,dx \]

Теперь можем проинтегрировать каждое слагаемое отдельно:

\[ \int \frac{1}{x - \sqrt{7}} \,dx = \ln |x - \sqrt{7}| \]

\[ \int \frac{1}{x + \sqrt{7}} \,dx = \ln |x + \sqrt{7}| \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \int \frac{2x}{x^2 - 7} \,dx = \ln |x - \sqrt{7}| + \ln |x + \sqrt{7}| + C \]

где \(C\) - постоянная интегрирования.