Question

Теорема Виета объясните​

Answer 1

Возьмем любое квадратное уравнения:

x²+bx+c=?

Теорема Виета гласит:

Сумма корней  квадратного уравнения равна его второму коэффициенту ( в данном случае b ) с противоположным знаком ( + или - ), а произведение - свободному члену ( то есть без x. а такой один - c )

a- первый корень уравнения

d- второй корень уравнения

a+d=-b

a·d=c

Нужно подобрать два корня, соответствующие этим двум равенствам

Рассмотрим на примере простейшего квадратного уравнения

x²+2x-3=0

a+d=-b             a+d=-2           a=-3    

a·d=c                a·d=-3            d=1  

Так как

-3+1=-2

-3·1=-3

Соответствует нашим равенствам.

Answer 2

Конечно! Теорема Виета - это математическая теорема, которая устанавливает связь между коэффициентами и корнями многочлена.

Предположим, у нас есть многочлен степени $n$ с общим видом:

$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0,$

где $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ - это коэффициенты многочлена, а $x$ - переменная.

Теорема Виета утверждает следующее:

1. Сумма корней многочлена $P(x)$ считаемых с учетом их кратности равна $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$.

2. Произведение всех корней многочлена $P(x)$ считаемых с учетом их кратности равно $\frac{a_0}{a_n}$.

Более формально, если корни многочлена $P(x)$ обозначим как $x_1, x_2, \ldots, x_n$, то теорема Виета утверждает:

x_1 + x_2 + \ldots + x_n &= -\frac{a_{n-1}}{a_n}, \\ x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n &= \frac{a_0}{a_n}. \end{align*}\] Теорема Виета имеет широкое применение в алгебре и теории уравнений. Она позволяет нам находить суммы и произведения корней многочленов без необходимости явного нахождения самих корней. Это может быть очень полезным, особенно когда корни являются сложными числами или когда степень многочлена велика. Для примера, рассмотрим простой многочлен \(P(x) = x^2 - 5x + 6\) с коэффициентами \(a_2 = 1\), \(a_1 = -5\) и \(a_0 = 6\). По теореме Виета: 1. Сумма корней \(x_1\) и \(x_2\) равна \(-\frac{a_1}{a_2} = -\frac{-5}{1} = 5\). 2. Произведение корней \(x_1\) и \(x_2\) равно \(\frac{a_0}{a_2} = \frac{6}{1} = 6\). Мы можем легко проверить это, найдя корни многочлена \(P(x)\): \[P(x) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).\] Корни многочлена равны \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 3\), а их сумма и произведение соответственно равны 5 и 6, что соответствует теореме Виета.