Question

1) Решите неравенство: 2 sin^2(3pi/2+x)= cos x 2) найдите корни {-3pi/2;0}

Answer 1

$sin(\frac{3\pi }{2}+x)=-cosx; (-cosx)^2=cosx;cos^2x-cosx=0; \\ cosx(cosx-1)=0; cosx=0; x=\frac{\pi }{2}+\pi k, cosx=1;x=2\pi n$

Имеем совокупность решений, независимых друг от друга. А теперь ищем, как я понимаю, решения на отрезке $[-\frac{3\pi }{2};0]$.

Можно, конечно, неравенствами искать, а можно и прикинуть. Во 2-ой серии решений сразу видно, что при n=-1 x=-2π не подходит, а подойдёт только n=0 x=0. Исследуем 1-ую серию решений. Попробуем k=-2. x=π/2 - 2π = -3π/2, подходит, далее k=-1, x=π/2 - π = -π/2, подходит, а вот k=0 x=π/2 уже не подойдет. Таким образом, получаем ответ:

а) $x=\frac{\pi }{2}+\pi k, x=2\pi n,$ k,n∈Z (на протяжении всего решения принадлежность k и n  к множеству целых чисел так же подразумевалась); б) $-\frac{3\pi }{2} ; -\frac{\pi }{2}; 0$

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с упрощения выражения 2sin^2(3π/2 + x):

Напомним некоторые тригонометрические тождества:

1. sin(π/2 + x) = cos(x)
2. cos(π/2 + x) = -sin(x)

Теперь заметим, что 3π/2 + x находится во второй четверти, где sin(x) < 0, и cos(x) < 0.

Используя эти тождества, мы можем записать: sin(3π/2 + x) = -cos(x) sin^2(3π/2 + x) = cos^2(x)

Таким образом, неравенство примет вид: 2cos^2(x) = cos(x)

Теперь приведем всё в левую часть: 2cos^2(x) - cos(x) = 0

Теперь факторизуем уравнение: cos(x)(2cos(x) - 1) = 0

Теперь решим два уравнения:

1. cos(x) = 0

2. 2cos(x) - 1 = 0

3. cos(x) = 0 имеет решения при x = π/2 + kπ, где k - целое число.

4. 2cos(x) - 1 = 0 2cos(x) = 1 cos(x) = 1/2

Это уравнение имеет два решения: x = π/3 + 2πk и x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.

Теперь найдем значения x из интервала (-3π/2, 0):

1. Подставим x = -3π/2: cos(-3π/2) = 0 2sin^2(3π/2 - 3π/2) = 0 2sin^2(0) = 0 sin^2(0) = 0 sin(0) = 0

Таким образом, x = -3π/2 не является корнем.

2. Подставим x = 0: cos(0) = 1 2sin^2(3π/2) = 1 2(-1)^2 = 1 2 = 1 (это неверно)

Таким образом, x = 0 также не является корнем.

В итоге, неравенство не имеет корней из данного множества {-3π/2, 0}.